Номер 17, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 17, страница 125.

Условие.

13.17. Все рёбра тетраэдра $DABC$ равны, точка $M$ – середина ребра $CD$.

Докажите, что угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$ равен углу $AMB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По определению, угол между двумя плоскостями — это величина линейного угла соответствующего двугранного угла. Линейный угол строится следующим образом: на линии пересечения плоскостей выбирается точка, и из этой точки в каждой из плоскостей восстанавливается перпендикуляр к линии пересечения. Угол между этими перпендикулярами и является линейным углом двугранного угла.

В нашем случае плоскости $ACD$ и $BCD$ пересекаются по прямой $CD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию, все рёбра тетраэдра $DABC$ равны. Это означает, что тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники. Таким образом, $\triangle ACD$ — равносторонний.

Точка $M$ является серединой ребра $CD$. Следовательно, отрезок $AM$ — это медиана в треугольнике $\triangle ACD$. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к стороне, является также и высотой. Значит, $AM$ перпендикулярна $CD$ ($AM \perp CD$).

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Он также является равносторонним. Отрезок $BM$ является медианой, проведённой к стороне $CD$, а значит, и высотой. Следовательно, $BM$ перпендикулярна $CD$ ($BM \perp CD$).

Таким образом, мы имеем два отрезка, $AM$ и $BM$, которые проведены к одной точке $M$ на линии пересечения плоскостей $CD$. При этом отрезок $AM$ лежит в плоскости $ACD$ и перпендикулярен $CD$, а отрезок $BM$ лежит в плоскости $BCD$ и также перпендикулярен $CD$.

По определению, угол между этими отрезками, то есть угол $\angle AMB$, является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ACD$ и $BCD$. Следовательно, угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$ равен углу $\angle AMB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$ равен углу $\angle AMB$.