Номер 10, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10, страница 124.

Условие.

13.10. Прямоугольники $ABCD$ и $BCEF$ лежат в разных плоскостях (рис. 13.15), причём прямая $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные прямоугольники, если $AF = \sqrt{15}$ см, $CD = \sqrt{5}$ см.

Рис. 13.15

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Двугранный угол, грани которого содержат прямоугольники $ABCD$ и $BCEF$, определяется линейным углом, образованным на их общей прямой $BC$.

Для нахождения этого линейного угла построим перпендикуляры к прямой $BC$ в одной точке, лежащие в плоскостях данных прямоугольников. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AB \perp BC$). Аналогично, так как $BCEF$ — прямоугольник, его сторона $FB$ перпендикулярна стороне $BC$ ($FB \perp BC$). Оба перпендикуляра, $AB$ и $FB$, исходят из одной точки $B$. Следовательно, угол $\angle ABF$ является линейным углом искомого двугранного угла.

По условию задачи, прямая $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что $AF$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AF \perp AB$. Таким образом, треугольник $\triangle ABF$ является прямоугольным с прямым углом $\angle FAB = 90^\circ$.

Для того чтобы найти величину угла $\angle ABF$, определим длины катетов треугольника $\triangle ABF$:

• Длина катета $AF$ дана в условии: $AF = \sqrt{15}$ см.
• Длина катета $AB$ равна длине противоположной стороны $CD$ в прямоугольнике $ABCD$. По условию $CD = \sqrt{5}$ см, следовательно, $AB = \sqrt{5}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABF$ тангенс угла $\angle ABF$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $ \tan(\angle ABF) = \frac{AF}{AB} $.

Подставим известные значения: $ \tan(\angle ABF) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3} $.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, — это $60^\circ$. Значит, $\angle ABF = 60^\circ$. Так как величина двугранного угла равна величине его линейного угла, искомый двугранный угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.