Номер 3, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 122.

Условие.

13.3. На одной из граней острого двугранного угла отмечена точка, расстояние от которой до другой грани равно $4\sqrt{3}$ см, а до ребра двугранного угла – 8 см. Какова величина данного двугранного угла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общей границей (ребром) $l$. По условию, угол острый.

Пусть точка $A$ лежит в одной из граней, например, в грани $\alpha$. Расстояние от точки $A$ до другой грани ($\beta$) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $B$. Тогда $AB \perp \beta$ и, по условию, $AB = 4\sqrt{3}$ см.

Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла $l$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $C$. Тогда $AC \perp l$ и, по условию, $AC = 8$ см.

Для нахождения величины двугранного угла нужно найти величину его линейного угла. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, перпендикулярными ребру и лежащими в разных гранях.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$.
$AB$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$.
$AC$ — наклонная к плоскости $\beta$.
$BC$ — проекция наклонной $AC$ на плоскость $\beta$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $AC$ перпендикулярна прямой $l$, лежащей в плоскости $\beta$ ($AC \perp l$), то и ее проекция $BC$ перпендикулярна этой прямой ($BC \perp l$).

Таким образом, мы имеем два отрезка $AC$ и $BC$, которые перпендикулярны ребру $l$ в одной и той же точке $C$. При этом $AC$ лежит в грани $\alpha$, а $BC$ лежит в грани $\beta$. Следовательно, угол $\angle ACB$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим этот угол как $\phi$.

Так как $AB$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, а прямая $BC$ лежит в этой плоскости, то $AB \perp BC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$:
$AC$ — гипотенуза, $AC = 8$ см.
$AB$ — катет, противолежащий углу $\phi$, $AB = 4\sqrt{3}$ см.

Синус угла $\phi$ в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\phi) = \frac{AB}{AC} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

По условию, двугранный угол является острым, значит $0^{\circ} < \phi < 90^{\circ}$. Единственное значение угла в этом диапазоне, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $60^{\circ}$.

Следовательно, величина данного двугранного угла равна $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.