Страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Опишите, какую фигуру называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной общей прямой, вместе с частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями.

Элементы двугранного угла:

• Грани — это две полуплоскости, которые образуют угол.
• Ребро — это общая прямая, из которой исходят грани.

Простой пример из жизни — это полуоткрытая книга. Две страницы книги представляют собой грани двугранного угла, а линия переплета, где они соединяются, является его ребром.

Для измерения величины двугранного угла используют его линейный угол. Чтобы построить линейный угол, необходимо выполнить следующие действия:

1. На ребре двугранного угла выбрать любую точку.
2. Через эту точку провести плоскость, перпендикулярную ребру.
3. Линии пересечения этой плоскости с гранями двугранного угла образуют плоский угол. Этот угол и называется линейным углом двугранного угла.

Величина двугранного угла по определению равна градусной мере его линейного угла. Если величина линейного угла равна $\alpha$, то и величина двугранного угла считается равной $\alpha$. Эта величина не зависит от того, в какой точке ребра был построен линейный угол.

Ответ: Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой (ребром), а также часть пространства между этими полуплоскостями (гранями).

2. Что называют гранями двугранного угла? ребром двугранного угла?

Двугранный угол — это фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями, которые исходят из одной общей прямой.

Грани двугранного угла

Гранями двугранного угла называют те две полуплоскости, которые его образуют. Если представить себе полураскрытую книгу, то плоскости, в которых лежат её левая и правая части, являются гранями двугранного угла.

Ответ: Гранями двугранного угла называют две полуплоскости, которые образуют этот угол.

Ребро двугранного угла

Ребром двугранного угла называют общую прямую, которая является границей для двух полуплоскостей, образующих этот угол. В аналогии с книгой, её переплёт (линия сгиба) является ребром двугранного угла.

Ответ: Ребром двугранного угла называют общую прямую, являющуюся границей для двух полуплоскостей, которые образуют этот угол.

3. Какую фигуру называют линейным углом двугранного угла?

Двугранный угол — это геометрическая фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями (называемыми гранями), которые исходят из одной общей прямой (называемой ребром).

Для того чтобы измерить величину двугранного угла, используют специальный плоский угол, который и называется линейным углом двугранного угла.

Определение: Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный пересечением этого двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Чтобы построить линейный угол, необходимо выполнить следующие действия:

1. На ребре двугранного угла выбрать произвольную точку.
2. Из этой точки в каждой из граней провести по лучу, перпендикулярному ребру.
3. Угол, образованный этими двумя лучами, и будет являться линейным углом данного двугранного угла.

Например, пусть двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с ребром $c$. Выберем на ребре $c$ точку $O$. В плоскости $\alpha$ проведём луч $OA$ так, что $OA \perp c$. В плоскости $\beta$ проведём луч $OB$ так, что $OB \perp c$. Полученный плоский угол $\angle AOB$ и есть линейный угол данного двугранного угла. Величина двугранного угла по определению равна градусной мере его линейного угла.

Ответ: Линейным углом двугранного угла называют плоский угол, образованный двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат на его гранях и оба перпендикулярны этому ребру.

4. Что называют величиной двугранного угла?

Что называют величиной двугранного угла?

Двугранный угол — это пространственная фигура, образованная двумя полуплоскостями, которые исходят из одной общей прямой. Эти полуплоскости называют гранями, а общую прямую — ребром двугранного угла.

Величиной (или мерой) двугранного угла называют величину его линейного угла.

Чтобы найти (построить) линейный угол, необходимо выполнить следующие шаги:
1. На ребре двугранного угла выбирается произвольная точка.
2. Из этой точки в каждой из двух граней проводится луч, перпендикулярный ребру.
3. Угол, образованный этими двумя лучами, и является линейным углом данного двугранного угла.

Важным свойством является то, что величина линейного угла не зависит от выбора точки на ребре. Все линейные углы одного и того же двугранного угла равны между собой.

Например, если грани двугранного угла — это полуплоскости $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $a$, и в некоторой точке $O$ на ребре $a$ мы проводим лучи $OK$ и $OM$ так, что луч $OK$ лежит в грани $\alpha$ ($OK \subset \alpha$), а луч $OM$ — в грани $\beta$ ($OM \subset \beta$), и при этом оба луча перпендикулярны ребру $a$ ($OK \perp a$ и $OM \perp a$), то величина двугранного угла будет равна величине угла $\angle KOM$.

Величина двугранного угла измеряется в градусах или радианах и может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан).

Ответ: Величиной двугранного угла называют величину его линейного угла. Линейный угол — это угол, который образован двумя лучами, проведенными из одной точки на ребре двугранного угла в его гранях и перпендикулярно этому ребру.

5. Что называют углом между двумя пересекающимися плоскостями?

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина угла, образованного при их пересечении. Эта величина измеряется через так называемый линейный угол двугранного угла, который образуют эти плоскости.

Рассмотрим две плоскости, $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$. Эта прямая $c$ называется ребром двугранного угла. Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Выбрать на прямой $c$ (линии пересечения плоскостей) произвольную точку $M$.
2. В плоскости $\alpha$ провести из точки $M$ луч $a$, перпендикулярный прямой $c$.
3. В плоскости $\beta$ провести из той же точки $M$ луч $b$, также перпендикулярный прямой $c$.

Угол, образованный между построенными лучами $a$ и $b$, и есть линейный угол двугранного угла. Величина этого линейного угла и принимается за величину угла между плоскостями.

Важно отметить, что при пересечении двух плоскостей образуются две пары равных двугранных углов. По определению, углом между плоскостями считается величина наименьшего из этих углов. Поэтому значение угла между плоскостями всегда находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ (или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Например, если плоскости перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

В координатном методе угол $\phi$ между плоскостями можно найти как угол между их векторами нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Если плоскости заданы уравнениями $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$, то их нормали имеют координаты $\vec{n_1}=\{A_1, B_1, C_1\}$ и $\vec{n_2}=\{A_2, B_2, C_2\}$. Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:
$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
Модуль в числителе гарантирует, что будет найден острый (или прямой) угол.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называют величину линейного угла их двугранного угла, то есть угла, образованного двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной ее точке, причем каждый перпендикуляр лежит в одной из плоскостей.

6. Чему равен угол между двумя параллельными плоскостями?

6. Угол между двумя плоскостями определяется как двугранный угол между ними. Для пересекающихся плоскостей это угол между двумя перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Когда плоскости параллельны, они не пересекаются, и, следовательно, у них нет общей линии. В этом случае угол между плоскостями определяется через их нормальные векторы.

Нормальный вектор (или нормаль) к плоскости — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Угол между двумя плоскостями по определению равен острому углу между их нормальными векторами.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ коллинеарны. Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Угол между коллинеарными векторами может быть равен $0^\circ$ (если они сонаправлены) или $180^\circ$ (если они направлены в противоположные стороны).

Поскольку угол между плоскостями — это наименьший угол между их нормалями, который по определению не может превышать $90^\circ$, то в обоих случаях он будет равен нулю. Если угол между нормалями $180^\circ$, то смежный с ним угол равен $0^\circ$, и мы выбираем меньший.

Интуитивно, параллельные плоскости имеют одинаковое "направление" или "наклон" в пространстве, поэтому можно считать, что угол между ними отсутствует, то есть равен нулю.

Ответ: $0^\circ$

7. Что называют углом между:

1) многоугольником и плоскостью, которой многоугольник не принадлежит;

2) двумя многоугольниками, лежащими в разных плоскостях?

1) многоугольником и плоскостью, которой многоугольник не принадлежит

По определению, многоугольник является плоской фигурой, то есть он целиком расположен в некоторой плоскости. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Углом между многоугольником, лежащим в плоскости $\alpha$, и другой плоскостью $\beta$ (которой многоугольник не принадлежит) называют угол между этими плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Этот угол является двугранным углом, образованным плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Для построения линейного угла необходимо на линии пересечения двух плоскостей выбрать произвольную точку и в каждой плоскости провести к этой точке перпендикуляры к линии пересечения. Угол, образованный этими перпендикулярами, и будет являться линейным углом двугранного угла.

Величина угла между плоскостями (а следовательно, и между многоугольником и плоскостью) лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если плоскость многоугольника параллельна данной плоскости, то угол между ними равен $0^\circ$.

Ответ: Углом между многоугольником и плоскостью, которой он не принадлежит, называют угол между плоскостью, в которой лежит этот многоугольник, и данной плоскостью.

2) двумя многоугольниками, лежащими в разных плоскостях

Пусть один многоугольник лежит в плоскости $\alpha$, а второй многоугольник — в плоскости $\beta$, причем эти плоскости различны. Углом между двумя многоугольниками, лежащими в разных плоскостях, называют угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, в которых находятся эти многоугольники.

Как и в предыдущем случае, этот угол является двугранным углом между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, и его величина измеряется соответствующим линейным углом. Величина угла также находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если плоскости, содержащие многоугольники, параллельны, то угол между многоугольниками считается равным $0^\circ$.

Ответ: Углом между двумя многоугольниками, лежащими в разных плоскостях, называют угол между плоскостями, в которых лежат эти многоугольники.

13.1. Приведите примеры, иллюстрирующие понятие «двугранный угол», используя предметы окружающей среды.

Двугранный угол — это геометрическая фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями, которые исходят из одной общей прямой. Эта прямая называется ребром двугранного угла, а сами полуплоскости — его гранями. Величину двугранного угла измеряют линейным углом, который образуется при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

В окружающей среде можно найти множество примеров, иллюстрирующих это понятие:

• Полураскрытая книга или тетрадь. Две страницы или обложки представляют собой грани двугранного угла, а линия переплета (сгиба) — его ребро. Угол, под которым раскрыта книга, наглядно демонстрирует величину двугранного угла.
• Угол между стеной и полом. Плоскость стены и плоскость пола являются гранями, а линия их пересечения (вдоль плинтуса) — ребром. В большинстве прямоугольных помещений этот двугранный угол является прямым и равен $90^\circ$. Аналогично, угол между двумя смежными стенами также является двугранным.
• Открытый ноутбук. Плоскость экрана и плоскость, на которой расположена клавиатура, образуют двугранный угол. Ось вращения экрана (шарнир) является ребром этого угла. Меняя наклон экрана, пользователь изменяет величину этого двугранного угла.
• Двускатная крыша дома. Два ската крыши — это грани, а конёк (верхнее горизонтальное ребро крыши) — ребро двугранного угла между ними.
• Приоткрытая дверь. Дверное полотно и стена, в которой находится дверной проем, образуют двугранный угол. Линия, проходящая через дверные петли, служит ребром этого угла. При открывании и закрывании двери величина этого угла изменяется.

Ответ: Примерами, иллюстрирующими понятие «двугранный угол», являются: полураскрытая книга (грани — страницы, ребро — переплет), угол между стеной и полом (грани — стена и пол, ребро — линия их пересечения), открытый ноутбук (грани — экран и клавиатурная часть, ребро — шарнир), двускатная крыша дома (грани — скаты, ребро — конёк), приоткрытая дверь (грани — дверь и стена, ребро — ось петель).

13.2. На одной из граней двугранного угла, величина которого равна $30^\circ$, отмечена точка $A$ (рис. 13.11). Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 18 см. Чему равно расстояние от точки $A$ до другой грани двугранного угла?

Рис. 13.11

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой (ребру) $c$. Величина этого двугранного угла равна $30^\circ$. Точка $A$ расположена на одной из граней, например, на грани $\alpha$.

Расстояние от точки $A$ до ребра $c$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $c$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $B$. Таким образом, отрезок $AB$ перпендикулярен ребру $c$ ($AB \perp c$), и по условию задачи его длина составляет $AB = 18$ см.

Искомое расстояние от точки $A$ до другой грани, $\beta$, — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $C$. Нам необходимо найти длину отрезка $AC$. По определению перпендикуляра к плоскости, $AC \perp \beta$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $B$ и $C$. Поскольку отрезок $AC$ перпендикулярен плоскости $\beta$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. Точки $B$ и $C$ обе лежат в плоскости $\beta$ (точка $B$ лежит на ребре $c$, которое принадлежит и $\beta$), следовательно, прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$. Отсюда следует, что $AC \perp BC$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол образуется двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре, перпендикулярны ребру и лежат в разных гранях. В нашем случае, луч $BA$ лежит в грани $\alpha$ и перпендикулярен ребру $c$ по построению. Луч $BC$ лежит в грани $\beta$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $AB$ к плоскости $\beta$ перпендикулярна прямой $c$ в этой плоскости, то и ее проекция $BC$ на эту плоскость также перпендикулярна прямой $c$ ($BC \perp c$). Следовательно, угол $\angle ABC$ и есть линейный угол данного двугранного угла.

По условию, величина двугранного угла равна $30^\circ$, значит, $\angle ABC = 30^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ нам известны:

• гипотенуза $AB = 18$ см;
• острый угол $\angle ABC = 30^\circ$;
• катет $AC$, который является искомым расстоянием.

Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
$AC = \frac{1}{2} \cdot AB$
$AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.
Либо, используя определение синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$
$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 18 \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

13.3. На одной из граней острого двугранного угла отмечена точка, расстояние от которой до другой грани равно $4\sqrt{3}$ см, а до ребра двугранного угла – 8 см. Какова величина данного двугранного угла?

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общей границей (ребром) $l$. По условию, угол острый.

Пусть точка $A$ лежит в одной из граней, например, в грани $\alpha$. Расстояние от точки $A$ до другой грани ($\beta$) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $B$. Тогда $AB \perp \beta$ и, по условию, $AB = 4\sqrt{3}$ см.

Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла $l$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $C$. Тогда $AC \perp l$ и, по условию, $AC = 8$ см.

Для нахождения величины двугранного угла нужно найти величину его линейного угла. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, перпендикулярными ребру и лежащими в разных гранях.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$.
$AB$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$.
$AC$ — наклонная к плоскости $\beta$.
$BC$ — проекция наклонной $AC$ на плоскость $\beta$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $AC$ перпендикулярна прямой $l$, лежащей в плоскости $\beta$ ($AC \perp l$), то и ее проекция $BC$ перпендикулярна этой прямой ($BC \perp l$).

Таким образом, мы имеем два отрезка $AC$ и $BC$, которые перпендикулярны ребру $l$ в одной и той же точке $C$. При этом $AC$ лежит в грани $\alpha$, а $BC$ лежит в грани $\beta$. Следовательно, угол $\angle ACB$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим этот угол как $\phi$.

Так как $AB$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, а прямая $BC$ лежит в этой плоскости, то $AB \perp BC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$:
$AC$ — гипотенуза, $AC = 8$ см.
$AB$ — катет, противолежащий углу $\phi$, $AB = 4\sqrt{3}$ см.

Синус угла $\phi$ в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\phi) = \frac{AB}{AC} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

По условию, двугранный угол является острым, значит $0^{\circ} < \phi < 90^{\circ}$. Единственное значение угла в этом диапазоне, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $60^{\circ}$.

Следовательно, величина данного двугранного угла равна $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.