Номер 6, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 123.

Условие.

13.6. Точка $B$ лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на $\sqrt{2}$ см и $\sqrt{3}$ см, а от ребра – на 2 см. Найдите данный двугранный угол.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $α$ и $β$, пересекающимися по прямой $a$ (ребро двугранного угла). Точка $B$ лежит внутри этого угла.

По условию задачи, расстояние от точки $B$ до граней $α$ и $β$ равно $√2$ см и $√3$ см соответственно, а расстояние до ребра $a$ равно $2$ см.

1. Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BA$ к ребру $a$. Тогда точка $A$ лежит на ребре $a$, и длина отрезка $BA$ является расстоянием от точки $B$ до ребра $a$. Таким образом, $BA = 2$ см.

2. Проведем из точки $B$ перпендикуляры $BC$ и $BD$ к плоскостям $α$ и $β$ соответственно. Длины этих перпендикуляров являются расстояниями от точки $B$ до граней. Таким образом, $BC = √2$ см и $BD = √3$ см.

3. Рассмотрим отрезок $BA$ как наклонную к плоскости $α$. $BC$ — перпендикуляр, проведенный из точки $B$ к плоскости $α$. Тогда $AC$ является проекцией наклонной $BA$ на плоскость $α$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $BA$ перпендикулярна прямой $a$ ($BA ⊥ a$), лежащей в плоскости $α$, то и ее проекция $AC$ перпендикулярна этой прямой ($AC ⊥ a$).

4. Аналогично, рассмотрим отрезок $BA$ как наклонную к плоскости $β$. $BD$ — перпендикуляр к плоскости $β$. Тогда $AD$ является проекцией наклонной $BA$ на плоскость $β$. Так как $BA ⊥ a$, то и ее проекция $AD ⊥ a$.

5. Угол между двумя плоскостями измеряется его линейным углом. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, причем оба луча лежат на гранях и перпендикулярны ребру. В нашем случае лучи $AC$ и $AD$ выходят из точки $A$ на ребре $a$, лежат в гранях $α$ и $β$ соответственно и перпендикулярны ребру $a$. Следовательно, искомый двугранный угол равен величине угла $∠CAD$.

6. Величина угла $∠CAD$ равна сумме величин углов $∠BAC$ и $∠BAD$, так как точка $B$ находится внутри двугранного угла.$∠CAD = ∠BAC + ∠BAD$.

7. Рассмотрим треугольник $ΔBAC$. Так как $BC$ — перпендикуляр к плоскости $α$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости, то $BC ⊥ AC$. Следовательно, $ΔBAC$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $BA$. Найдем синус угла $∠BAC$:
$sin(∠BAC) = \frac{BC}{BA} = \frac{√2}{2}$
Отсюда следует, что $∠BAC = 45°$.

8. Рассмотрим треугольник $ΔBAD$. Так как $BD$ — перпендикуляр к плоскости $β$, а прямая $AD$ лежит в этой плоскости, то $BD ⊥ AD$. Следовательно, $ΔBAD$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $BA$. Найдем синус угла $∠BAD$:
$sin(∠BAD) = \frac{BD}{BA} = \frac{√3}{2}$
Отсюда следует, что $∠BAD = 60°$.

9. Теперь найдем искомый двугранный угол:
$∠CAD = ∠BAC + ∠BAD = 45° + 60° = 105°$.

Ответ: 105°.