Номер 30, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 30, страница 117.

Условие.

12.30. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите угол между прямой $C_1 D_1$ и плоскостью $ACC_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Чтобы найти искомый угол, построим проекцию прямой $C_1D$ на плоскость $ACC_1$. Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$.

Проекция прямой на плоскость определяется проекциями двух любых её точек.

1. Найдём проекцию точки $C_1$ на плоскость $ACC_1$. Так как точка $C_1$ принадлежит плоскости $ACC_1$, её проекцией является она сама.

2. Найдём проекцию точки $D$ на плоскость $ACC_1$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $D$ на эту плоскость.В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $DO \perp AC$.Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $DO$.Поскольку прямая $DO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1$, то прямая $DO$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$.Это означает, что точка $O$ (центр основания $ABCD$) является проекцией точки $D$ на плоскость $ACC_1$.

Таким образом, прямая $C_1O$ является проекцией прямой $C_1D$ на плоскость $ACC_1$. Искомый угол — это угол между прямой $C_1D$ и её проекцией $C_1O$, то есть $\angle DC_1O$.

Найдём величину этого угла из прямоугольного треугольника $\triangle DOC_1$. Угол $\angle DOC_1 = 90^{\circ}$, так как $DO$ является перпендикуляром к плоскости $ACC_1$, в которой лежит прямая $C_1O$.

Вычислим длины сторон треугольника:Гипотенуза $C_1D$ является диагональю грани куба $CDD_1C_1$. Её длина равна $C_1D = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.Катет $DO$ является половиной диагонали основания $ABCD$. Длина диагонали $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$, следовательно, $DO = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:$\sin(\angle DC_1O) = \frac{DO}{C_1D} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Отсюда, искомый угол $\angle DC_1O = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.