Номер 23, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 23, страница 116.

Условие.

12.23. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости данного квадрата $ABCD$, причём $MB = AB$. Найдите угол между:

1) прямой $AB$ и плоскостью $BMD$;

2) прямой $AM$ и плоскостью $BMD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. По условию, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости квадрата, и его длина равна стороне квадрата, то есть $MB = AB = a$.

1) прямой AB и плоскостью BMD;

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию прямой $AB$ на плоскость $BMD$.
Проведём диагонали квадрата $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. В квадрате диагонали перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$.
Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе $MB \perp AC$.
Прямая $AC$ (а значит и её часть $AO$) перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $MB$ в плоскости $BMD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $AO \perp (BMD)$.
Это означает, что $AO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $BMD$.
Тогда проекцией наклонной $AB$ на плоскость $BMD$ является прямая $BO$.
Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $BO$, то есть угол $\angle ABO$.
В квадрате $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Так как $\angle ABC = 90^\circ$, то $\angle ABO = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2) прямой AM и плоскостью BMD.

Искомый угол — это угол между прямой $AM$ и её проекцией на плоскость $BMD$.
Как мы установили в пункте 1, перпендикуляром из точки $A$ на плоскость $BMD$ является отрезок $AO$. Точка $M$ лежит в плоскости $BMD$. Следовательно, проекцией прямой $AM$ на плоскость $BMD$ является прямая $OM$.
Таким образом, искомый угол — это $\angle AMO$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMO$ (угол $\angle AOM = 90^\circ$, так как $AO \perp (BMD)$ и $OM$ лежит в этой плоскости).
Найдём длины сторон этого треугольника.
1. В квадрате $ABCD$ со стороной $a$ диагональ $AC = a\sqrt{2}$. Точка $O$ — середина диагонали, поэтому $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBA$ (угол $\angle MBA = 90^\circ$, так как $MB \perp (ABCD)$). По теореме Пифагора:
$AM^2 = MB^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $AM = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
3. В прямоугольном треугольнике $\triangle AMO$ найдём синус угла $\angle AMO$:
$\sin(\angle AMO) = \frac{AO}{AM} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.
Следовательно, $\angle AMO = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.