Номер 16, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 16, страница 116.

Условие.

12.16. Точка $M$ находится на расстоянии 12 см от каждой вершины квадрата $ABCD$, угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата равен $60^{\circ}$.

Найдите расстояние от точки $M$ до стороны квадрата.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

12.16.

Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость квадрата $ABCD$. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата ($MA = MB = MC = MD = 12$ см), то $O$ является центром квадрата (точкой пересечения его диагоналей).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOA$, где $MO$ — высота, опущенная из $M$ на плоскость квадрата, и $OA$ — половина диагонали квадрата. Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата — это угол $\angle MAO$, который равен $60^\circ$.

Используем тригонометрические соотношения в $\triangle MOA$. Высота $MO = MA \sin(\angle MAO) = 12 \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Половина диагонали $OA = MA \cos(\angle MAO) = 12 \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Теперь найдем сторону квадрата $a$. Диагональ квадрата $AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 6 = 12$ см. Для квадрата со стороной $a$ диагональ равна $a\sqrt{2}$.

$a\sqrt{2} = 12 \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Пусть $K$ — середина одной из сторон квадрата, например, стороны $AB$. Расстояние от центра квадрата $O$ до стороны $AB$ равно $OK = \frac{a}{2}$.

$OK = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны квадрата $AB$ — это длина отрезка $MK$. Поскольку $MO$ перпендикулярно плоскости квадрата, и $OK$ перпендикулярно $AB$ (как радиус вписанной окружности к касательной), то по теореме о трех перпендикулярах $MK$ также перпендикулярно $AB$. Таким образом, $\triangle MOK$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

Применяем теорему Пифагора в $\triangle MOK$: $MK^2 = MO^2 + OK^2$.

$MK^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 3) + (9 \cdot 2) = 108 + 18 = 126$.

$MK = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см.

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.