Номер 17, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 17, страница 116.

Условие.

12.17. Точка M равноудалена от сторон квадрата ABCD, сторона которого равна $9\sqrt{6}$ см, и находится на расстоянии 9 см от плоскости квадрата. Найдите угол между прямой MA и плоскостью квадрата.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ - проекция точки $M$ на плоскость квадрата $ABCD$. Так как точка $M$ равноудалена от всех сторон квадрата, то ее проекция $O$ является центром квадрата (точкой пересечения диагоналей). Расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата - это длина перпендикуляра $MO$. По условию, $MO = 9$ см.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата $ABCD$ - это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость, то есть угол $\angle MAO$.

Найдем длину проекции $OA$. $OA$ - это половина диагонали квадрата $AC$. Сторона квадрата $a = 9\sqrt{6}$ см.Диагональ квадрата $AC$ вычисляется по формуле $AC = a\sqrt{2}$.
$AC = 9\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{12} = 9\sqrt{4 \cdot 3} = 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.
Тогда $OA = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$, так как $MO$ - перпендикуляр к плоскости). В этом треугольнике нам известны два катета:
- катет $MO = 9$ см (противолежащий углу $\angle MAO$);
- катет $OA = 9\sqrt{3}$ см (прилежащий к углу $\angle MAO$).
Найдем тангенс угла $\angle MAO$:
$\tan(\angle MAO) = \frac{MO}{OA} = \frac{9}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle MAO = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.