Номер 22, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 22, страница 116.

Условие.

12.22. Отрезок $DA$ – перпендикуляр к плоскости правильного треугольника $ABC$, $AD = AB$, точка $E$ – середина стороны $BC$. Найдите угол между:

1) прямой $AB$ и плоскостью $ADE$;

2) прямой $AC$ и плоскостью $ABD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, $ABC$ — правильный (равносторонний) треугольник. Отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, что означает $DA \perp (ABC)$. Также дано, что $AD = AB$. Пусть сторона треугольника $ABC$ равна $a$, тогда $AB = BC = AC = a$ и $AD = a$. Точка $E$ — середина стороны $BC$.

Из того, что $DA \perp (ABC)$, следует, что $DA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DA \perp AB$ и $DA \perp AC$.

1) прямой AB и плоскостью ADE;

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдем проекцию прямой $AB$ на плоскость $(ADE)$. Прямая $AB$ пересекает плоскость $(ADE)$ в точке $A$, значит, точка $A$ является проекцией самой себя. Чтобы найти проекцию прямой $AB$, нужно найти проекцию точки $B$ на плоскость $(ADE)$, то есть опустить перпендикуляр из точки $B$ на эту плоскость.

Рассмотрим прямую $BC$. 1. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AE$ является также и высотой, следовательно, $AE \perp BC$. 2. Так как $DA \perp (ABC)$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $DA \perp BC$.

Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AE$ и $DA$ в плоскости $(ADE)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADE)$, то есть $BC \perp (ADE)$.

Поскольку $BC \perp (ADE)$, отрезок $BE$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на плоскость $(ADE)$, так как точка $E$ лежит в этой плоскости. Таким образом, точка $E$ — это проекция точки $B$ на плоскость $(ADE)$.

Следовательно, прямая $AE$ является проекцией прямой $AB$ на плоскость $(ADE)$. Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $AE$, то есть $\angle BAE$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AE$ является также и биссектрисой угла $\angle BAC$. Так как все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, то $\angle BAC = 60^\circ$.

$\angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

2) прямой AC и плоскостью ABD.

Аналогично первому пункту, найдем угол между прямой $AC$ и её проекцией на плоскость $(ABD)$.

Прямая $AC$ пересекает плоскость $(ABD)$ в точке $A$. Найдем проекцию точки $C$ на плоскость $(ABD)$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $C$ на эту плоскость.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CM$ к стороне $AB$. Так как $\Delta ABC$ — равносторонний, высота $CM$ является и медианой, поэтому точка $M$ — середина $AB$.

1. По построению, $CM \perp AB$. 2. Так как $DA \perp (ABC)$, а прямая $CM$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $DA \perp CM$.

Прямая $CM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $DA$ в плоскости $(ABD)$. Следовательно, прямая $CM$ перпендикулярна плоскости $(ABD)$, то есть $CM \perp (ABD)$.

Это означает, что точка $M$ — проекция точки $C$ на плоскость $(ABD)$.

Тогда прямая $AM$ является проекцией прямой $AC$ на плоскость $(ABD)$. Искомый угол — это угол между прямой $AC$ и её проекцией $AM$, то есть $\angle CAM$.

Точки $C$, $A$, $M$ лежат в плоскости треугольника $ABC$, причем $M$ лежит на отрезке $AB$. Таким образом, угол $\angle CAM$ — это угол $\angle CAB$ треугольника $ABC$.

Поскольку $\Delta ABC$ — равносторонний, $\angle CAB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$