Номер 18, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 18, страница 116.

Условие.

12.18. Дана точка $D$, такая, что прямые $DA$, $DB$ и $DC$ образуют с плоскостью правильного треугольника $ABC$ углы по $45^\circ$. Найдите расстояние от точки $D$ до вершин и до прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$, если его сторона равна 6 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $DO$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $(ABC)$ равно длине отрезка $DO$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. По условию, прямые $DA$, $DB$ и $DC$ образуют с плоскостью $(ABC)$ углы по 45°. Это означает, что углы между этими прямыми и их проекциями $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно, равны 45°.

Таким образом, $\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DOA$, $\triangle DOB$ и $\triangle DOC$ (прямые углы при вершине $O$, так как $DO \perp (ABC)$). В этих треугольниках катет $DO$ — общий, а углы $\angle DAO$, $\angle DBO$, $\angle DCO$ равны. Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз $DA = DB = DC$ и катетов $OA = OB = OC$.

Равенство $OA = OB = OC$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ — правильный, точка $O$ является его центром.

Сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a = 6$ см.

1. Найдём расстояние от точки D до вершин треугольника ABC

Расстояние от точки $D$ до вершин — это длины отрезков $DA$, $DB$ и $DC$. Мы уже установили, что они равны. Найдём длину $DA$.

Радиус $R$ описанной около правильного треугольника окружности со стороной $a$ вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

В нашем случае $OA = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$. Так как $\angle DAO = 45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным, и $DO = OA = 2\sqrt{3}$ см.

Длину гипотенузы $DA$ можно найти по теореме Пифагора или через тригонометрические функции.

Используя косинус: $\cos(\angle DAO) = \frac{OA}{DA}$.

$DA = \frac{OA}{\cos(45^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Следовательно, расстояние от точки $D$ до каждой из вершин $A$, $B$ и $C$ равно $2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

2. Найдём расстояние от точки D до прямых, содержащих стороны треугольника ABC

Расстояние от точки $D$ до прямой, содержащей сторону треугольника (например, $AB$), — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на эту прямую.

Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Так как треугольник $ABC$ правильный, то медиана $CK$ является и высотой, то есть $CK \perp AB$. Точка $O$ (центр треугольника) лежит на $CK$. Отрезок $OK$ является радиусом вписанной в треугольник окружности и перпендикулярен стороне $AB$. Таким образом, $OK \perp AB$.

Радиус $r$ вписанной в правильный треугольник окружности со стороной $a$ вычисляется по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$OK = r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим отрезок $DK$. Так как $DO \perp (ABC)$, то $DO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AB$. $OK \perp AB$ по построению. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DO$ и $OK$ в плоскости $(DOK)$, следовательно, $AB \perp (DOK)$. Это означает, что $AB \perp DK$.

Таким образом, длина отрезка $DK$ и есть искомое расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Найдём $DK$ из прямоугольного треугольника $\triangle DOK$ (угол $\angle DOK = 90^\circ$) по теореме Пифагора:$DK^2 = DO^2 + OK^2$.

Мы уже нашли, что $DO = 2\sqrt{3}$ см и $OK = \sqrt{3}$ см.

$DK^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$.

$DK = \sqrt{15}$ см.

В силу симметрии, расстояния от точки $D$ до прямых $BC$ и $AC$ будут такими же.

Ответ: $\sqrt{15}$ см.