Номер 21, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 21, страница 116.

Условие.

12.21. Дан треугольник $ABC$, такой, что $AC = BC$, $\angle ACB = 90^\circ$, $AB = 10$ см. Отрезок $MC$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно $5\sqrt{3}$ см. Найдите угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle ACB = 90^\circ$) и равнобедренным ($AC = BC$) с гипотенузой $AB = 10$ см, мы можем найти длины катетов по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Так как $AC = BC$, получаем $2AC^2 = 10^2$, что дает $2AC^2 = 100$, откуда $AC^2 = 50$ и $AC = BC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра $MH$, опущенного из точки $M$ на прямую $AB$. По условию, $MH = 5\sqrt{3}$ см.

Так как $MC \perp (ABC)$, а $MH$ — наклонная к этой плоскости, то $CH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AB$ в плоскости, то и ее проекция $CH$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $CH \perp AB$, и $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к гипотенузе.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой, поэтому ее длина равна половине длины гипотенузы: $CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCH$ (угол $\angle MCH = 90^\circ$, так как $MC \perp (ABC)$ и $CH$ лежит в этой плоскости). По теореме Пифагора: $MC^2 + CH^2 = MH^2$. Подставим известные значения: $MC^2 + 5^2 = (5\sqrt{3})^2$, что дает $MC^2 + 25 = 75$. Отсюда $MC^2 = 50$ и $MC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$ — это угол между прямой $AM$ и ее проекцией на эту плоскость. Поскольку $MC \perp (ABC)$, проекцией наклонной $AM$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AC$. Следовательно, искомый угол — это $\angle MAC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MAC$ (угол $\angle MCA = 90^\circ$, так как $MC \perp (ABC)$ и $AC$ лежит в этой плоскости). Мы нашли, что катеты этого треугольника равны: $AC = 5\sqrt{2}$ см и $MC = 5\sqrt{2}$ см. Так как катеты равны, треугольник $MAC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его острые углы равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle MAC = 45^\circ$.

Также можно найти тангенс этого угла: $\tan(\angle MAC) = \frac{MC}{AC} = \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 1$. Следовательно, $\angle MAC = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.