Номер 24, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 24, страница 117.

Условие.

12.24. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены две равные наклонные, угол между которыми равен $60^\circ$. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость $\alpha$ равен $90^\circ$. Найдите угол между данными наклонными и плоскостью $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть из точки $A$ к плоскости $α$ проведены две равные наклонные $AB$ и $AC$. Пусть $H$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $α$. Тогда $AH$ – расстояние от точки $A$ до плоскости $α$, а отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $α$ соответственно.

По условию задачи имеем:

• Длины наклонных равны: $AB = AC$.
• Угол между наклонными: $∠BAC = 60°$.
• Угол между проекциями наклонных: $∠BHC = 90°$.

Требуется найти угол между наклонными и плоскостью $α$. Углом между наклонной и плоскостью является угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. Поскольку наклонные $AB$ и $AC$ равны, то их проекции $HB$ и $HC$ также равны. Следовательно, углы, которые они образуют с плоскостью $α$, также равны: $∠ABH = ∠ACH$. Найдем величину этого угла, обозначив его $φ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = AC$ и угол между этими сторонами $∠BAC = 60°$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным с углом при вершине $60°$. Это означает, что треугольник $ABC$ – равносторонний, и все его стороны равны: $AB = AC = BC$.

Обозначим длину наклонных через $l$. Тогда $AB = AC = BC = l$.

Теперь рассмотрим треугольник $BHC$, лежащий в плоскости $α$. По условию, $∠BHC = 90°$, то есть этот треугольник прямоугольный. Мы ранее установили, что проекции наклонных равны, $HB = HC$. Следовательно, треугольник $BHC$ – равнобедренный прямоугольный треугольник.

Применим теорему Пифагора для треугольника $BHC$:

$BC^2 = HB^2 + HC^2$

Так как $HB = HC$ и $BC = l$, получаем:

$l^2 = HB^2 + HB^2 = 2HB^2$

Отсюда выразим длину проекции $HB$:

$HB^2 = \frac{l^2}{2} \Rightarrow HB = \frac{l}{\sqrt{2}}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $∠AHB = 90°$, так как $AH$ – перпендикуляр к плоскости $α$). Угол $φ = ∠ABH$ – это искомый угол между наклонной $AB$ и плоскостью $α$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ косинус угла $∠ABH$ равен отношению прилежащего катета $HB$ к гипотенузе $AB$:

$\cos(φ) = \cos(∠ABH) = \frac{HB}{AB}$

Подставим найденные значения $HB = \frac{l}{\sqrt{2}}$ и $AB = l$:

$\cos(φ) = \frac{l/\sqrt{2}}{l} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45°$.

$φ = 45°$

Ответ: $45°$.