Номер 29, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 29, страница 117.

Условие.

12.29. Точка K – середина ребра AD прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямой $C_1K$ и плоскостью $DAA_1$, если $AD = 2\sqrt{2}$ см, $DC = 8$ см, $DD_1 = 1$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Для нахождения этого угла мы сначала построим проекцию прямой $C_1K$ на плоскость $DAA_1$.

Плоскость $DAA_1$ — это плоскость боковой грани $ADD_1A_1$ прямоугольного параллелепипеда.

Точка $K$ является серединой ребра $AD$. Поскольку ребро $AD$ лежит в плоскости $DAA_1$, точка $K$ также лежит в этой плоскости. Следовательно, проекцией точки $K$ на плоскость $DAA_1$ является сама точка $K$.

Для нахождения проекции точки $C_1$ на плоскость $DAA_1$ опустим из неё перпендикуляр на эту плоскость. В прямоугольном параллелепипеде ребро $C_1D_1$ перпендикулярно смежной грани $ADD_1A_1$. Таким образом, перпендикуляром из точки $C_1$ на плоскость $DAA_1$ является отрезок $C_1D_1$, а точка $D_1$ — основание этого перпендикуляра, то есть проекция точки $C_1$.

Соединив проекции точек $C_1$ и $K$, мы получим проекцию прямой $C_1K$ на плоскость $DAA_1$ — это прямая $D_1K$.

Искомый угол — это угол между прямой $C_1K$ и её проекцией $D_1K$, то есть угол $\angle C_1KD_1$. Этот угол находится в треугольнике $\triangle C_1KD_1$.

Поскольку отрезок $C_1D_1$ перпендикулярен плоскости $DAA_1$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $D_1K$. Следовательно, $\angle C_1D_1K = 90^\circ$, и треугольник $\triangle C_1KD_1$ является прямоугольным.

Для нахождения угла $\angle C_1KD_1$ в прямоугольном треугольнике, найдем длины его катетов $C_1D_1$ и $D_1K$.

1. Длина катета $C_1D_1$ равна длине ребра $CD$. По условию задачи $DC = 8$ см, значит $C_1D_1 = 8$ см.

2. Длину катета $D_1K$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle DD_1K$. В этом треугольнике угол $\angle D_1DK = 90^\circ$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.

- Катет $DD_1 = 1$ см (по условию).

- Катет $DK$ равен половине длины ребра $AD$, так как $K$ — середина $AD$. По условию $AD = 2\sqrt{2}$ см, поэтому $DK = \frac{1}{2} AD = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

- По теореме Пифагора для $\triangle DD_1K$: $D_1K^2 = DD_1^2 + DK^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

- Отсюда $D_1K = \sqrt{3}$ см.

Теперь, зная оба катета в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1D_1K$, мы можем найти тангенс искомого угла $\angle C_1KD_1$:

$\tan(\angle C_1KD_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{C_1D_1}{D_1K} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, искомый угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $\arctan\left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)$.