Номер 25, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 25, страница 117.

Условие.

12.25. Из точки $B$ к плоскости $\beta$ проведены две равные наклонные, угол между которыми прямой. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость $\beta$ равен $120^\circ$. Найдите косинус угла между данными наклонными и плоскостью $\beta$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть из точки B, не лежащей в плоскости β, проведены две равные наклонные BA и BC к этой плоскости. Обозначим длину этих наклонных как $l$, то есть $BA = BC = l$.

По условию, угол между наклонными прямой, следовательно, треугольник ΔABC является равнобедренным прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине B, $\angle ABC = 90^\circ$.

Найдем длину отрезка AC, соединяющего основания наклонных, по теореме Пифагора в ΔABC:

$AC^2 = BA^2 + BC^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$

Следовательно, $AC = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$.

Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на плоскость β. Тогда BH — расстояние от точки B до плоскости β, а отрезки HA и HC — проекции наклонных BA и BC на плоскость β соответственно.

Так как наклонные BA и BC равны, то их проекции HA и HC также равны. Обозначим их длину как $p$, то есть $HA = HC = p$.

По условию, угол между проекциями равен $120^\circ$, то есть $\angle AHC = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник ΔAHC в плоскости β. Он является равнобедренным, так как $HA = HC = p$. Найдем длину стороны AC по теореме косинусов:

$AC^2 = HA^2 + HC^2 - 2 \cdot HA \cdot HC \cdot \cos(\angle AHC)$

$AC^2 = p^2 + p^2 - 2 \cdot p \cdot p \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$AC^2 = 2p^2 - 2p^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2p^2 + p^2 = 3p^2$

Теперь у нас есть два выражения для $AC^2$. Приравняем их:

$2l^2 = 3p^2$

Отсюда выразим отношение длины проекции $p$ к длине наклонной $l$:

$\frac{p^2}{l^2} = \frac{2}{3} \implies \frac{p}{l} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Для наклонной BA и ее проекции HA это угол $\angle BAH$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBHA (угол $\angle BHA = 90^\circ$). Косинус угла $\alpha$ определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \cos(\angle BAH) = \frac{HA}{BA} = \frac{p}{l}$

Подставляем найденное ранее отношение:

$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Так как наклонные равны, угол между второй наклонной BC и плоскостью β будет таким же.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$