Номер 15, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 15, страница 116.

Условие.

12.15. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MA$ и $MB$. Наклонная $MA$ образует с плоскостью $\alpha$ угол $45^\circ$, а наклонная $MB$—угол $30^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если $MA = 6$ см, а угол между наклонными равен $45^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $M$ — данная точка, не лежащая в плоскости $\alpha$. $MA$ и $MB$ — наклонные к плоскости $\alpha$, где $A$ и $B$ — основания наклонных. Опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра. Отрезки $HA$ и $HB$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. По условию, угол между наклонной $MA$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$, следовательно, $\angle MAH = 45^\circ$. Угол между наклонной $MB$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$, следовательно, $\angle MBH = 30^\circ$.

Так как $MH \perp \alpha$, то $MH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, $\triangle MHA$ и $\triangle MHB$ — прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершине $H$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$. Известно, что гипотенуза $MA = 6$ см и $\angle MAH = 45^\circ$. Найдем длину катетов $MH$ (высота от точки $M$ до плоскости) и $HA$ (проекция наклонной $MA$).

$MH = MA \cdot \sin(\angle MAH) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

$HA = MA \cdot \cos(\angle MAH) = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$. Нам известен катет $MH = 3\sqrt{2}$ см и угол $\angle MBH = 30^\circ$. Найдем длину гипотенузы $MB$ (вторая наклонная).

$MB = \frac{MH}{\sin(\angle MBH)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. В нем известны длины двух сторон: $MA = 6$ см и $MB = 6\sqrt{2}$ см. Также по условию известен угол между этими сторонами: $\angle AMB = 45^\circ$. Расстояние между основаниями наклонных — это длина стороны $AB$ в этом треугольнике. Найдем $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$AB^2 = 36 + (36 \cdot 2) - 72\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 36 + 72 - \frac{72 \cdot 2}{2}$

$AB^2 = 108 - 72$

$AB^2 = 36$

$AB = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.