Номер 8, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 8, страница 115.

Условие.

12.8. Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано:

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости ($A \notin \alpha$).
Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены две равные наклонные $AB$ и $AC$, где $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$.
Таким образом, $AB = AC$.

Доказать:

Углы, которые наклонные $AB$ и $AC$ образуют с плоскостью $\alpha$, равны.

Доказательство:

1. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$, где $H$ — основание перпендикуляра ($H \in \alpha$). Отрезок $AH$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

2. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

3. По определению, угол между прямой (наклонной) и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Следовательно, угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle ABH$, а угол между наклонной $AC$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle ACH$. Нам нужно доказать, что $\angle ABH = \angle ACH$.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Значит, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$.
Следовательно, треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

5. Сравним эти прямоугольные треугольники:

• $AB = AC$ (гипотенузы) — по условию задачи.
• $AH$ — общий катет для обоих треугольников.

6. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ равны по гипотенузе и катету.

7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов. Углу $\angle ABH$ в треугольнике $\triangle AHB$ соответствует угол $\angle ACH$ в треугольнике $\triangle AHC$.
Следовательно, $\angle ABH = \angle ACH$.

Это и доказывает, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.