Номер 3, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 114.

Условие.

12.3. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $MA$ и наклонная $MB$, образующая с плоскостью $\alpha$ угол $\phi$. Найдите:

1) проекцию наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$, если расстояние от точки $M$ до этой плоскости равно $d$;

2) наклонную $MB$, если её проекция на плоскость $\alpha$ равна $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, из точки $M$ проведены перпендикуляр $MA$ к плоскости $\alpha$ и наклонная $MB$. Отрезок $AB$ является проекцией наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$. Угол между наклонной и её проекцией, $\angle MBA$, равен $\phi$. Так как $MA$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Следовательно, $MA \perp AB$, и треугольник $\triangle MAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

1)

Требуется найти проекцию наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$, то есть длину отрезка $AB$.

По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $d$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость, то есть $MA = d$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MAB$ известны катет $MA$ (противолежащий углу $\phi$) и угол $\phi$. Нужно найти катет $AB$ (прилежащий к углу $\phi$).

Соотношение между катетами в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс или котангенс угла:

$\tan(\phi) = \frac{MA}{AB}$

Выразим отсюда искомую величину $AB$:

$AB = \frac{MA}{\tan(\phi)}$

Подставим известное значение $MA = d$:

$AB = \frac{d}{\tan(\phi)} = d \cdot \cot(\phi)$

Ответ: $d \cdot \cot(\phi)$.

2)

Требуется найти длину наклонной $MB$.

По условию, её проекция на плоскость $\alpha$ равна $a$, то есть $AB = a$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MAB$ известны катет $AB$ (прилежащий к углу $\phi$) и угол $\phi$. Нужно найти гипотенузу $MB$.

Соотношение между прилежащим катетом и гипотенузой выражается через косинус угла:

$\cos(\phi) = \frac{AB}{MB}$

Выразим отсюда искомую величину $MB$:

$MB = \frac{AB}{\cos(\phi)}$

Подставим известное значение $AB = a$:

$MB = \frac{a}{\cos(\phi)}$

Ответ: $\frac{a}{\cos(\phi)}$.