Страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Что называют углом между прямой и плоскостью?

Определение
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость.

Построение угла
Чтобы найти угол между прямой a и плоскостью α, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти точку пересечения прямой a и плоскости α, назовем её A.
2. Взять на прямой a любую точку M, не совпадающую с A.
3. Опустить из точки M перпендикуляр MH на плоскость α, где H — основание перпендикуляра.
4. Прямая AH, проходящая через точки A и H, является проекцией прямой a на плоскость α.
5. Искомый угол φ — это угол между прямой a (представленной наклонной AM) и её проекцией AH. Таким образом, φ = ∠MAH. Этот угол является острым углом в прямоугольном треугольнике AMH.

Частные случаи
В зависимости от взаимного расположения прямой и плоскости, угол определяется следующим образом:
• Если прямая параллельна плоскости (a || α) или лежит в плоскости (a ⊂ α), то угол между ними считается равным $0^\circ$.
• Если прямая перпендикулярна плоскости (a ⊥ α), то угол между ними по определению равен $90^\circ$.

Свойства угла
Угол φ между прямой и плоскостью всегда находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно: $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$. Этот угол является наименьшим из углов между данной прямой и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

Нахождение через векторы
В аналитической геометрии, если плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$ (её вектор нормали $\vec{n} = \{A; B; C\}$) и прямая задана направляющим вектором $\vec{s} = \{l; m; p\}$, то синус угла $\phi$ между ними вычисляется по формуле:
$\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|A \cdot l + B \cdot m + C \cdot p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{l^2 + m^2 + p^2}}$
Эта формула основана на том, что угол $\phi$ между прямой и плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол $\theta$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости ($\phi + \theta = 90^\circ$), а $\sin \phi = \cos \theta$.

Ответ: Углом между прямой и плоскостью называется острый угол, образованный этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Его значение лежит в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.

12.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $O$ — центр грани $ABCD$ (рис. 12.5).

Укажите угол между:

1) прямой $AB_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$;

2) прямой $AC_1$ и плоскостью $ABC$;

3) прямой $AC_1$ и плоскостью $CDD_1$;

4) прямой $OA_1$ и плоскостью $ABC$;

5) прямой $AC$ и плоскостью $ADD_1$.

Рис. 12.5

Для нахождения угла между прямой и плоскостью необходимо найти угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

1) прямой $AB_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$

Плоскость $A_1B_1C_1$ является плоскостью верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Точка $B_1$ принадлежит этой плоскости. Для нахождения проекции прямой $AB_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$, найдем проекцию точки $A$ на эту плоскость. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$. Значит, точка $A_1$ является проекцией точки $A$ на плоскость $A_1B_1C_1$.

Следовательно, проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является прямая $A_1B_1$. Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и её проекцией $A_1B_1$, то есть угол $\angle AB_1A_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AA_1B_1$. Он прямоугольный, так как $AA_1 \perp A_1B_1$. Катеты $AA_1$ и $A_1B_1$ равны как рёбра куба. Таким образом, $\triangle AA_1B_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острые углы равны $45^\circ$.

Ответ: $\angle AB_1A_1$.

2) прямой $AC_1$ и плоскостью $ABC$

Плоскость $ABC$ является плоскостью нижней грани куба $ABCD$. Точка $A$ принадлежит этой плоскости. Найдем проекцию точки $C_1$ на плоскость $ABC$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, поэтому точка $C$ является проекцией точки $C_1$ на эту плоскость.

Проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $AC$. Искомый угол — это угол между прямой $AC_1$ и её проекцией $AC$, то есть угол $\angle C_1AC$.

Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ACC_1$ (прямой угол при вершине $C$).

Ответ: $\angle C_1AC$.

3) прямой $AC_1$ и плоскостью $CDD_1$

Плоскость $CDD_1$ является плоскостью правой грани куба $CDD_1C_1$. Точка $C_1$ принадлежит этой плоскости. Найдем проекцию точки $A$ на плоскость $CDD_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $CD$ (как стороны квадрата) и ребру $DD_1$ (так как $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости $ABCD$). Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $CDD_1$, и точка $D$ является проекцией точки $A$ на эту плоскость.

Проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $CDD_1$ является прямая $DC_1$. Искомый угол — это угол между прямой $AC_1$ и её проекцией $DC_1$, то есть угол $\angle AC_1D$.

Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ADC_1$ (прямой угол при вершине $D$).

Ответ: $\angle AC_1D$.

4) прямой $OA_1$ и плоскостью $ABC$

Плоскость $ABC$ является плоскостью нижней грани $ABCD$, а точка $O$ — центр этой грани. Точка $O$ принадлежит плоскости $ABC$. Найдем проекцию точки $A_1$ на эту плоскость. Ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости $ABC$, поэтому точка $A$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABC$.

Проекцией прямой $OA_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $OA$. Искомый угол — это угол между прямой $OA_1$ и её проекцией $OA$, то есть угол $\angle A_1OA$.

Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle A_1AO$ (прямой угол при вершине $A$).

Ответ: $\angle A_1OA$.

5) прямой $AC$ и плоскостью $ADD_1$

Плоскость $ADD_1$ является плоскостью левой грани куба $ADD_1A_1$. Точка $A$ принадлежит этой плоскости. Найдем проекцию точки $C$ на плоскость $ADD_1$. Ребро $CD$ перпендикулярно ребру $AD$ (как стороны квадрата). Также $CD$ параллельно $AB$, а $AB$ перпендикулярно плоскости $ADD_1A_1$. Следовательно, ребро $CD$ перпендикулярно плоскости $ADD_1$, и точка $D$ является проекцией точки $C$ на эту плоскость.

Проекцией прямой $AC$ на плоскость $ADD_1$ является прямая $AD$. Искомый угол — это угол между прямой $AC$ и её проекцией $AD$, то есть угол $\angle CAD$.

Этот угол является углом в основании куба, в треугольнике $\triangle ADC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $\triangle ADC$ — прямоугольный ($\angle D = 90^\circ$) и равнобедренный ($AD=CD$). Следовательно, $\angle CAD = 45^\circ$.

Ответ: $\angle CAD$.

12.2. Из точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонная, образующая с данной плоскостью угол $50^\circ$. Чему равен угол между данной наклонной и перпендикуляром?

12.2.

Пусть из точки A, не принадлежащей плоскости $\alpha$, проведены перпендикуляр AH и наклонная AM к этой плоскости, где H и M — точки на плоскости $\alpha$.

Отрезок AH — это перпендикуляр, опущенный из точки A на плоскость $\alpha$.
Отрезок AM — это наклонная, проведенная из точки A к плоскости $\alpha$.
Отрезок HM, лежащий в плоскости $\alpha$, является проекцией наклонной AM на эту плоскость.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. По условию задачи, этот угол равен $50^\circ$. Таким образом, $\angle AMH = 50^\circ$.

По определению перпендикуляра к плоскости, прямая AH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Следовательно, она перпендикулярна и прямой HM. Это означает, что треугольник $\triangle AHM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине H, то есть $\angle AHM = 90^\circ$.

Нам необходимо найти угол между наклонной AM и перпендикуляром AH, то есть $\angle MAH$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $\triangle AHM$ сумма острых углов равна $90^\circ$:
$\angle MAH + \angle AMH = 90^\circ$

Подставим известное значение угла $\angle AMH$:
$\angle MAH + 50^\circ = 90^\circ$

Выразим искомый угол $\angle MAH$:
$\angle MAH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$

Ответ: $40^\circ$.

12.3. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $MA$ и наклонная $MB$, образующая с плоскостью $\alpha$ угол $\phi$. Найдите:

1) проекцию наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$, если расстояние от точки $M$ до этой плоскости равно $d$;

2) наклонную $MB$, если её проекция на плоскость $\alpha$ равна $a$.

По условию задачи, из точки $M$ проведены перпендикуляр $MA$ к плоскости $\alpha$ и наклонная $MB$. Отрезок $AB$ является проекцией наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$. Угол между наклонной и её проекцией, $\angle MBA$, равен $\phi$. Так как $MA$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Следовательно, $MA \perp AB$, и треугольник $\triangle MAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

1)

Требуется найти проекцию наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$, то есть длину отрезка $AB$.

По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $d$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость, то есть $MA = d$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MAB$ известны катет $MA$ (противолежащий углу $\phi$) и угол $\phi$. Нужно найти катет $AB$ (прилежащий к углу $\phi$).

Соотношение между катетами в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс или котангенс угла:

$\tan(\phi) = \frac{MA}{AB}$

Выразим отсюда искомую величину $AB$:

$AB = \frac{MA}{\tan(\phi)}$

Подставим известное значение $MA = d$:

$AB = \frac{d}{\tan(\phi)} = d \cdot \cot(\phi)$

Ответ: $d \cdot \cot(\phi)$.

2)

Требуется найти длину наклонной $MB$.

По условию, её проекция на плоскость $\alpha$ равна $a$, то есть $AB = a$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MAB$ известны катет $AB$ (прилежащий к углу $\phi$) и угол $\phi$. Нужно найти гипотенузу $MB$.

Соотношение между прилежащим катетом и гипотенузой выражается через косинус угла:

$\cos(\phi) = \frac{AB}{MB}$

Выразим отсюда искомую величину $MB$:

$MB = \frac{AB}{\cos(\phi)}$

Подставим известное значение $AB = a$:

$MB = \frac{a}{\cos(\phi)}$

Ответ: $\frac{a}{\cos(\phi)}$.

12.4. Из точки A к плоскости $\alpha$ проведена наклонная. Чему равен угол между этой наклонной и плоскостью $\alpha$, если расстояние от точки A до плоскости $\alpha$:

1) равно проекции наклонной на плоскость $\alpha$;

2) в два раза меньше самой наклонной?

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонная $AB$ и перпендикуляр $AH$, где $B$ и $H$ — точки на плоскости $\alpha$. Тогда $AH$ — это расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, $HB$ — это проекция наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$, а $AB$ — сама наклонная. Угол между наклонной и плоскостью по определению равен углу между наклонной и её проекцией на эту плоскость, то есть углу $\angle ABH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ (так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости, то $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• $AH$ — катет, противолежащий углу $\angle ABH$.
• $HB$ — катет, прилежащий к углу $\angle ABH$.
• $AB$ — гипотенуза.

1)

По условию, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно проекции наклонной на эту плоскость. Это означает, что длина перпендикуляра $AH$ равна длине проекции $HB$.
$AH = HB$

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ тангенс угла $\angle ABH$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\text{tg}(\angle ABH) = \frac{AH}{HB}$

Поскольку $AH = HB$, получаем:
$\text{tg}(\angle ABH) = \frac{AH}{AH} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$. Таким образом, искомый угол равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2)

По условию, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ в два раза меньше самой наклонной. Это означает, что длина перпендикуляра $AH$ в два раза меньше длины наклонной $AB$.
$AH = \frac{1}{2} AB$

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ синус угла $\angle ABH$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Подставляя условие задачи в формулу, получаем:
$\sin(\angle ABH) = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $30^\circ$. Таким образом, искомый угол равен $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

12.5. Сколько наклонных, образующих с плоскостью $ \alpha $ угол $ 40^{\circ} $, можно провести из точки A, не принадлежащей этой плоскости?

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости ($A \notin \alpha$). Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AO$ к плоскости $\alpha$, где $O$ — основание перпендикуляра, точка $O \in \alpha$. Длина этого перпендикуляра $AO$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$ и представляет собой постоянную величину, обозначим ее $h$.

Рассмотрим любую наклонную $AB$, проведенную из точки $A$ к плоскости $\alpha$, где $B$ — основание наклонной, точка $B \in \alpha$. Отрезок $OB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$. Углом между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ по определению является угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость, то есть угол $\angle ABO$.

По условию задачи, этот угол должен быть равен $40^\circ$, то есть $\angle ABO = 40^\circ$.

Так как $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $AO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, $AO \perp OB$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AOB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ мы знаем катет $AO = h$ и угол $\angle ABO = 40^\circ$. Мы можем найти длину проекции $OB$ (второго катета):
$tan(\angle ABO) = \frac{AO}{OB}$
Отсюда $OB = \frac{AO}{tan(\angle ABO)} = \frac{h}{tan(40^\circ)} = h \cdot cot(40^\circ)$.

Поскольку расстояние $h$ от точки $A$ до плоскости $\alpha$ является постоянной величиной, и $cot(40^\circ)$ также является константой, то длина проекции $OB$ является постоянной величиной для всех таких наклонных.

Это означает, что все основания $B$ наклонных, проведенных из точки $A$ под углом $40^\circ$ к плоскости $\alpha$, лежат на одинаковом расстоянии $r = h \cdot cot(40^\circ)$ от точки $O$ (основания перпендикуляра). Геометрическим местом точек плоскости $\alpha$, удаленных от точки $O$ на расстояние $r$, является окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = h \cdot cot(40^\circ)$.

Каждая точка на этой окружности может служить основанием для одной такой наклонной. Поскольку на окружности существует бесконечное множество точек, то из точки $A$ можно провести бесконечное множество наклонных, образующих с плоскостью $\alpha$ угол $40^\circ$. Совокупность всех таких наклонных образует боковую поверхность конуса с вершиной в точке $A$, осью $AO$ и основанием — окружностью в плоскости $\alpha$.

Ответ: можно провести бесконечно много таких наклонных.