Страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.40. Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, равна 12 см. Найдите сторону квадрата, описанного около данной окружности.

Дан правильный треугольник со стороной $a_3 = 12$ см, описанный около окружности. Это означает, что окружность вписана в треугольник. Сначала найдем радиус $r$ этой окружности.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, связан с его стороной по формуле:
$r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$
Подставим в формулу значение стороны треугольника:
$r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$r = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Далее необходимо найти сторону квадрата $a_4$, описанного около этой же окружности.
Если квадрат описан около окружности, то его сторона равна диаметру $d$ этой окружности.
$a_4 = d = 2r$
Подставим найденное значение радиуса:
$a_4 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

10.41. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 12 : 25, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна $1680 \text{ см}^2$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $S$ — его площадь, $S = 1680 \text{ см}^2$. Вписанная в него окружность касается сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

По условию, точка касания $M$ делит боковую сторону $BC$ в отношении $12:25$, считая от вершины угла при основании (вершины $C$). Следовательно, $CM:MB = 12:25$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $CM = 12x$ и $MB = 25x$.

Длина боковой стороны $BC = CM + MB = 12x + 25x = 37x$. Так как треугольник равнобедренный, то и другая боковая сторона $AB = 37x$.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, отрезки касательных равны. Поэтому $CN = CM = 12x$ и $BK = BM = 25x$. Для стороны $AB$ имеем $AK = AB - BK = 37x - 25x = 12x$. Также $AN = AK = 12x$.

Теперь можем найти длину основания $AC$:$AC = AN + NC = 12x + 12x = 24x$.Итак, стороны треугольника равны $37x$, $37x$ и $24x$.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $S = pr$, где $p$ — полупериметр треугольника.Найдем полупериметр $p$:$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{37x + 37x + 24x}{2} = \frac{98x}{2} = 49x$.

Площадь треугольника можно выразить через $x$ по формуле Герона:$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$$S = \sqrt{49x(49x-37x)(49x-37x)(49x-24x)} = \sqrt{49x \cdot 12x \cdot 12x \cdot 25x}$$S = \sqrt{49 \cdot 144 \cdot 25 \cdot x^4} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{144} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^4} = 7 \cdot 12 \cdot 5 \cdot x^2 = 420x^2$.

По условию, площадь треугольника равна $1680 \text{ см}^2$. Приравняем это значение к найденному выражению для площади, чтобы найти $x$:$420x^2 = 1680$$x^2 = \frac{1680}{420} = 4$$x = 2$ (так как длина отрезка должна быть положительной).

Теперь мы можем найти численное значение полупериметра:$p = 49x = 49 \cdot 2 = 98 \text{ см}$.

Наконец, найдем радиус вписанной окружности $r$ из формулы $S = pr$:$r = \frac{S}{p} = \frac{1680}{98} = \frac{840}{49} = \frac{120}{7} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{120}{7} \text{ см}$.