Страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.17. Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.

Пусть из точки $A$, не принадлежащей плоскости $\alpha$, проведены к этой плоскости перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Требуется доказать, что если проекция одной наклонной больше проекции другой, то и сама эта наклонная больше. Для определённости, пусть проекция $HB$ больше проекции $HC$, то есть $HB > HC$. Докажем, что в этом случае наклонная $AB$ больше наклонной $AC$, то есть $AB > AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку отрезок $AH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$.

Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с общим катетом $AH$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle AHB$ квадрат гипотенузы $AB$ равен сумме квадратов катетов $AH$ и $HB$:

$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle AHC$:

$AC^2 = AH^2 + HC^2$

По нашему предположению, $HB > HC$. Так как длины отрезков — величины положительные, то и квадраты их длин будут находиться в том же соотношении:

$HB^2 > HC^2$

Прибавим к обеим частям этого неравенства одну и ту же положительную величину $AH^2$:

$AH^2 + HB^2 > AH^2 + HC^2$

Заменим суммы квадратов катетов в левой и правой частях неравенства на квадраты соответствующих гипотенуз:

$AB^2 > AC^2$

Поскольку длины наклонных $AB$ и $AC$ являются положительными числами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:

$AB > AC$

Таким образом, мы доказали, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

10.18. Из точки A к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AC$ длиной 25 см и 17 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости $\alpha$, если проекции данных наклонных на эту плоскость относятся как $5 : 2$.

Пусть $h$ - искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. Это длина перпендикуляра $AH$, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$, где $H$ - основание перпендикуляра.

$AB$ и $AC$ - наклонные к плоскости $\alpha$. По условию, $AB = 25$ см и $AC = 17$ см.

$HB$ и $HC$ - проекции наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Перпендикуляр $AH$, наклонная $AB$ и ее проекция $HB$ образуют прямоугольный треугольник $AHB$ (с прямым углом $H$). Аналогично, $AH$, $AC$ и $HC$ образуют прямоугольный треугольник $AHC$ (с прямым углом $H$).

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

1. Из $\triangle AHB$: $AB^2 = AH^2 + HB^2$. Подставив известные значения, получаем:$25^2 = h^2 + HB^2 \implies 625 = h^2 + HB^2$

2. Из $\triangle AHC$: $AC^2 = AH^2 + HC^2$. Подставив известные значения, получаем:$17^2 = h^2 + HC^2 \implies 289 = h^2 + HC^2$

По условию, отношение проекций данных наклонных равно $5:2$, то есть $HB : HC = 5 : 2$.Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $HB = 5x$ и $HC = 2x$.

Подставим эти выражения в полученные ранее уравнения:

1. $625 = h^2 + (5x)^2 \implies 625 = h^2 + 25x^2$

2. $289 = h^2 + (2x)^2 \implies 289 = h^2 + 4x^2$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $x$. Выразим $h^2$ из обоих уравнений:

$h^2 = 625 - 25x^2$

$h^2 = 289 - 4x^2$

Приравняем правые части уравнений:

$625 - 25x^2 = 289 - 4x^2$

$625 - 289 = 25x^2 - 4x^2$

$336 = 21x^2$

$x^2 = \frac{336}{21}$

$x^2 = 16$

$x = 4$ (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь найдем $h^2$, подставив значение $x^2 = 16$ в любое из уравнений для $h^2$. Возьмем второе:

$h^2 = 289 - 4x^2 = 289 - 4 \cdot 16 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$

Следовательно, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 15 см.

Ответ: 15 см.

10.19. Из точки $D$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $DA$ и $DB$, сумма которых равна 28 см. Найдите эти наклонные, если их проекции на плоскость $\alpha$ равны соответственно 9 см и 5 см.

Пусть $DA$ и $DB$ — наклонные, проведенные из точки $D$ к плоскости $\alpha$. Пусть $DH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезки $HA$ и $HB$ являются проекциями наклонных $DA$ и $DB$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

По условию задачи дано:
Сумма длин наклонных: $DA + DB = 28$ см.
Длины их проекций: $HA = 9$ см и $HB = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DHA$ и $\triangle DHB$ (углы $\angle DHA$ и $\angle DHB$ — прямые, так как $DH \perp \alpha$). Катет $DH$ является общим для обоих треугольников.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:
$DA^2 = DH^2 + HA^2$
$DB^2 = DH^2 + HB^2$

Выразим квадрат общего катета $DH^2$ из обоих уравнений:
$DH^2 = DA^2 - HA^2$
$DH^2 = DB^2 - HB^2$

Приравняем правые части этих выражений, так как левые части равны:
$DA^2 - HA^2 = DB^2 - HB^2$

Подставим известные значения длин проекций $HA = 9$ см и $HB = 5$ см:
$DA^2 - 9^2 = DB^2 - 5^2$
$DA^2 - 81 = DB^2 - 25$

Перенесем члены с неизвестными длинами наклонных в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$DA^2 - DB^2 = 81 - 25$
$DA^2 - DB^2 = 56$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(DA - DB)(DA + DB) = 56$

Из условия задачи мы знаем, что $DA + DB = 28$ см. Подставим это значение в уравнение:
$(DA - DB) \cdot 28 = 56$

Найдем разность длин наклонных:
$DA - DB = \frac{56}{28}$
$DA - DB = 2$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:
1) $DA + DB = 28$
2) $DA - DB = 2$

Сложим эти два уравнения:
$(DA + DB) + (DA - DB) = 28 + 2$
$2 \cdot DA = 30$
$DA = \frac{30}{2} = 15$ см.

Подставим найденное значение $DA$ в первое уравнение системы, чтобы найти $DB$:
$15 + DB = 28$
$DB = 28 - 15 = 13$ см.

Таким образом, длины наклонных равны 15 см и 13 см.

Ответ: 13 см и 15 см.

10.20. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MN$ и $MK$, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по $60^{\circ}$. Найдите расстояние между основаниями данных наклонных, если угол между наклонными равен $90^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $\sqrt{3}$ см.

Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $MH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию от точки $M$ до плоскости. По условию, $MH = \sqrt{3}$ см.

Отрезки $MN$ и $MK$ — это наклонные, проведенные из точки $M$ к плоскости $\alpha$. Точки $N$ и $K$ — основания этих наклонных. Отрезки $HN$ и $HK$ являются проекциями наклонных $MN$ и $MK$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость — это угол, который наклонная образует с плоскостью. По условию, эти углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle MNH = 60^\circ$ и $\angle MKH = 60^\circ$.

Поскольку $MH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $MH \perp HN$ и $MH \perp HK$. Следовательно, треугольники $\triangle MHN$ и $\triangle MKH$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHN$. В нем известны катет $MH = \sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle MNH = 60^\circ$. Найдем длину гипотенузы $MN$ (длину наклонной):

$\sin(\angle MNH) = \frac{MH}{MN}$

$MN = \frac{MH}{\sin(\angle MNH)} = \frac{\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MKH$. Аналогично, найдем длину гипотенузы $MK$:

$MK = \frac{MH}{\sin(\angle MKH)} = \frac{\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle NMK$. По условию, угол между наклонными $MN$ и $MK$ равен $90^\circ$, то есть $\angle NMK = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle NMK$ является прямоугольным.

Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка $NK$, который является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle NMK$. По теореме Пифагора:

$NK^2 = MN^2 + MK^2$

$NK^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$NK = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

10.21. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AC$, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по $30^\circ$. Найдите данные наклонные и расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, если угол между проекциями наклонных равен $90^\circ$, а расстояние между основаниями наклонных равно $6$ см.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра, а длина отрезка $AH$ является искомым расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Точки $B$ и $C$ — основания наклонных.

Угол между наклонной и её проекцией на плоскость по условию равен $30°$. Следовательно, $∠ABH = 30°$ и $∠ACH = 30°$.

Угол между проекциями наклонных равен $90°$, значит, $∠BHC = 90°$. Расстояние между основаниями наклонных $B$ и $C$ равно $6$ см, то есть $BC = 6$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Так как $AH \perp \alpha$, то $AH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в частности $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Значит, $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ — прямоугольные. В этих треугольниках катет $AH$ — общий, а острые углы $∠ABH$ и $∠ACH$ равны $30°$. Следовательно, $\triangle AHB = \triangle AHC$ по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: $AB = AC$ (длины наклонных равны) и $HB = HC$ (длины проекций равны).

Рассмотрим $\triangle BHC$, который лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем, что $∠BHC = 90°$ и $HB = HC$. Следовательно, $\triangle BHC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Применим к нему теорему Пифагора:
$HB^2 + HC^2 = BC^2$
$2 \cdot HB^2 = 6^2$
$2 \cdot HB^2 = 36$
$HB^2 = 18$
$HB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.
Таким образом, длины проекций $HB = HC = 3\sqrt{2}$ см.

Найти расстояние от точки А до плоскости α

Искомое расстояние — это длина перпендикуляра $AH$. Найдем её из прямоугольного треугольника $\triangle AHB$. Мы знаем катет $HB = 3\sqrt{2}$ см и прилежащий к нему острый угол $∠ABH = 30°$.
Воспользуемся определением тангенса: $\tan(∠ABH) = \frac{AH}{HB}$.
$AH = HB \cdot \tan(30°) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$AH = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$ см.
Ответ: $\sqrt{6}$ см.

Найти данные наклонные

Требуется найти длины наклонных $AB$ и $AC$. Мы уже выяснили, что $AB = AC$. Найдем длину гипотенузы $AB$ из прямоугольного треугольника $\triangle AHB$.
Воспользуемся определением косинуса: $\cos(∠ABH) = \frac{HB}{AB}$.
$AB = \frac{HB}{\cos(∠ABH)} = \frac{3\sqrt{2}}{\cos(30°)}$
Так как $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AB = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$AB = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.
Так как $AB = AC$, то обе наклонные имеют длину $2\sqrt{6}$ см.
Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

10.22. Точка M находится на расстоянии 6 см от каждой вершины правильного треугольника ABC, сторона которого равна 9 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC.

Обозначим искомое расстояние от точки M до плоскости ABC как $h$. Пусть H - это основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость треугольника ABC. Тогда $h = MH$.

По условию, точка M находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины треугольника ABC. Это означает, что наклонные MA, MB и MC, проведенные из точки M к плоскости ABC, равны: $MA = MB = MC = 6$ см.

Так как наклонные равны, то равны и их проекции на плоскость ABC. Проекциями наклонных MA, MB, MC являются отрезки HA, HB, HC соответственно. Следовательно, $HA = HB = HC$.

Точка H в плоскости треугольника ABC, равноудаленная от его вершин, является центром описанной около этого треугольника окружности. Так как треугольник ABC правильный (равносторонний), то H - это его центр. Расстояние от центра до любой вершины правильного треугольника является радиусом описанной окружности $R$.

Радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По условию, сторона треугольника $a = 9$ см. Найдем радиус: $R = HA = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MHA (угол MHA = $90^\circ$). В этом треугольнике:

• $MA$ - гипотенуза, $MA = 6$ см.
• $HA$ - катет, $HA = 3\sqrt{3}$ см.
• $MH$ - катет, который нам нужно найти.

По теореме Пифагора: $MA^2 = MH^2 + HA^2$.

Выразим $MH^2$: $MH^2 = MA^2 - HA^2$

Подставим числовые значения: $MH^2 = 6^2 - (3\sqrt{3})^2 = 36 - (9 \cdot 3) = 36 - 27 = 9$

$MH = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

10.23. Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) равны 6 см и 8 см. Точка $D$ удалена от каждой вершины данного треугольника на 13 см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

Пусть $H$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DH$.

По условию, точка $D$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$, то есть $DA = DB = DC = 13$ см. Отрезки $DA$, $DB$, $DC$ являются наклонными к плоскости $ABC$, проведенными из одной точки. Так как наклонные равны, то равны и их проекции на эту плоскость: $HA = HB = HC$. Следовательно, точка $H$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle ACB = 90^\circ$), центр описанной около него окружности находится на середине его гипотенузы $AB$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора, используя длины катетов $AC=6$ см и $BC=8$ см:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы. Этот радиус и есть расстояние от центра $H$ до вершин треугольника:

$R = HA = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DHA$ (угол $\angle DHA = 90^\circ$, так как $DH$ перпендикулярен плоскости $ABC$). В этом треугольнике:

• гипотенуза $DA = 13$ см (по условию);
• катет $HA = 5$ см (как радиус описанной окружности).

Найдем второй катет $DH$ по теореме Пифагора:

$DH^2 = DA^2 - HA^2$

$DH = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

10.24. Точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ и удалена от плоскости $ABC$ на расстояние $d$. Найдите расстояние от точки $M$ до вершин данного треугольника, если $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$.

Пусть точка $O$ является проекцией точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $M$ до этой плоскости, то есть $MO = d$.

Поскольку точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, то наклонные $MA$, $MB$ и $MC$ равны между собой ($MA = MB = MC$).

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$ (они прямоугольные, так как $MO \perp (ABC)$). У этих треугольников катет $MO$ — общий, а гипотенузы равны по условию ($MA=MB=MC$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе.

Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ и, следовательно, является центром окружности, описанной около этого треугольника. Расстояние $OA$ (а также $OB$ и $OC$) равно радиусу $R$ этой окружности.

Искомое расстояние от точки $M$ до вершин треугольника, например $MA$, можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle MOA$:

$MA^2 = MO^2 + OA^2 = d^2 + R^2$

Следовательно, $MA = \sqrt{d^2 + R^2}$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R$

Подставив известные значения $BC = a$ и $\angle BAC = \alpha$, получим:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Откуда находим радиус $R$:

$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Теперь подставим это выражение для $R$ в формулу для $MA$:

$MA = \sqrt{d^2 + \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^2} = \sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2 \alpha}}$

Ответ: $\sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2 \alpha}}$.

10.25. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 4\sqrt{5}$ см, $AC = 8$ см.

Точка $D$ расположена на расстоянии $5\sqrt{5}$ см от каждой вершины треугольника $ABC$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

Пусть O — проекция точки D на плоскость треугольника ABC. Тогда отрезок DO является перпендикуляром к плоскости ABC, и его длина — искомое расстояние.

По условию, точка D равноудалена от всех вершин треугольника ABC: $DA = DB = DC = 5\sqrt{5}$ см. Это означает, что наклонные DA, DB, DC, проведенные из точки D к плоскости ABC, равны. Равные наклонные имеют равные проекции. Проекциями этих наклонных являются отрезки OA, OB, OC. Следовательно, $OA = OB = OC$.

Точка O в плоскости треугольника ABC равноудалена от его вершин, а значит, O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Расстояние от O до любой вершины — это радиус описанной окружности R, то есть $OA = R$.

Для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника ABC воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.

Сначала найдем площадь треугольника ABC. Так как $AB = BC = 4\sqrt{5}$ см, треугольник является равнобедренным. Проведем высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту BH:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (4\sqrt{5})^2 - 4^2 = 16 \cdot 5 - 16 = 80 - 16 = 64$ см$^2$.
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника ABC:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ см$^2$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 8}{4 \cdot 32} = \frac{16 \cdot 5 \cdot 8}{128} = \frac{640}{128} = 5$ см.
Таким образом, $OA = R = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DOA (так как $DO \perp OA$). В нем:
- $DA = 5\sqrt{5}$ см — гипотенуза (расстояние от D до вершины A).
- $OA = 5$ см — катет (радиус описанной окружности).
- $DO$ — искомый катет (расстояние от точки D до плоскости ABC).

По теореме Пифагора:
$DO^2 = DA^2 - OA^2 = (5\sqrt{5})^2 - 5^2 = 25 \cdot 5 - 25 = 125 - 25 = 100$ см$^2$.
$DO = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

10.26. Вершина $A$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а сторона $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Из точек $B$ и $C$ опущены на плоскость $\alpha$ перпендикуляры $BB_1$ и $CC_1$. Проекция отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $\sqrt{14}$ см, а проекция отрезка $AC - 3\sqrt{5}$ см. Найдите сторону $BC$, если $BB_1 = 2$ см, $\angle BAC = 45^\circ$.

Поскольку вершина $A$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а $BB_1$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на эту плоскость, то отрезок $AB_1$ является проекцией стороны $AB$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AB_1B$.

Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны $AB$:

$AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2$

$AB^2 = (\sqrt{14})^2 + 2^2 = 14 + 4 = 18$

$AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Согласно условию, сторона $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что все точки прямой $BC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Следовательно, длина перпендикуляра $CC_1$ равна длине перпендикуляра $BB_1$:

$CC_1 = BB_1 = 2$ см.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (с прямым углом $\angle AC_1C$), где $AC_1$ — проекция стороны $AC$. По теореме Пифагора найдем длину стороны $AC$:

$AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$

$AC^2 = (3\sqrt{5})^2 + 2^2 = 9 \cdot 5 + 4 = 45 + 4 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь в треугольнике $ABC$ известны две стороны ($AB = 3\sqrt{2}$ см и $AC = 7$ см) и угол между ними ($\angle BAC = 45^\circ$). Для нахождения длины третьей стороны $BC$ применим теорему косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения в формулу:

$BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$

$BC^2 = 18 + 49 - 42\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 67 - \frac{42 \cdot 2}{2}$

$BC^2 = 67 - 42 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

10.27. Через вершину $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена плоскость $\beta$, параллельная прямой $AC$. Найдите проекцию гипотенузы $AB$ на плоскость $\beta$, если $BC = 20$ см, $AC = 15$ см, а проекция катета $BC$ на эту плоскость равна 12 см.

Пусть $A'$, $B'$, $C'$ — ортогональные проекции вершин треугольника $A$, $B$, $C$ на плоскость $\beta$.Поскольку вершина $B$ лежит в плоскости $\beta$, ее проекция совпадает с самой точкой $B$, то есть $B' = B$.Тогда проекцией катета $BC$ на плоскость $\beta$ является отрезок $BC'$, а проекцией гипотенузы $AB$ — отрезок $BA'$.

1. Рассмотрим проекцию катета $BC$. Отрезок $CC'$ является перпендикуляром, опущенным из точки $C$ на плоскость $\beta$. Следовательно, треугольник $\triangle BCC'$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BC'C = 90^\circ$.По условию, длина катета $BC = 20$ см, а длина его проекции $BC' = 12$ см.Используя теорему Пифагора для $\triangle BCC'$, найдем длину отрезка $CC'$, который представляет собой расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$:$BC^2 = (BC')^2 + (CC')^2$$(CC')^2 = BC^2 - (BC')^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$$CC' = \sqrt{256} = 16$ см.

2. По условию задачи, прямая $AC$ параллельна плоскости $\beta$. Это означает, что все точки прямой $AC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\beta$. Следовательно, расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ равно расстоянию от точки $C$ до плоскости $\beta$.Расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ — это длина перпендикуляра $AA'$. Таким образом:$AA' = CC' = 16$ см.

3. Найдем длину гипотенузы $AB$ в исходном прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$AB = \sqrt{625} = 25$ см.

4. Теперь найдем длину проекции гипотенузы $AB$ на плоскость $\beta$, то есть длину отрезка $BA'$. Отрезок $AA'$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, значит, треугольник $\triangle BAA'$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BA'A = 90^\circ$.Используя теорему Пифагора для $\triangle BAA'$, найдем длину катета $BA'$:$AB^2 = (BA')^2 + (AA')^2$$(BA')^2 = AB^2 - (AA')^2 = 25^2 - 16^2 = 625 - 256 = 369$$BA' = \sqrt{369} = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41}$ см.

Ответ: $3\sqrt{41}$ см.