Номер 20, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 20, страница 105.

Условие.

10.20. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MN$ и $MK$, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по $60^{\circ}$. Найдите расстояние между основаниями данных наклонных, если угол между наклонными равен $90^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $MH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию от точки $M$ до плоскости. По условию, $MH = \sqrt{3}$ см.

Отрезки $MN$ и $MK$ — это наклонные, проведенные из точки $M$ к плоскости $\alpha$. Точки $N$ и $K$ — основания этих наклонных. Отрезки $HN$ и $HK$ являются проекциями наклонных $MN$ и $MK$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость — это угол, который наклонная образует с плоскостью. По условию, эти углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle MNH = 60^\circ$ и $\angle MKH = 60^\circ$.

Поскольку $MH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $MH \perp HN$ и $MH \perp HK$. Следовательно, треугольники $\triangle MHN$ и $\triangle MKH$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHN$. В нем известны катет $MH = \sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle MNH = 60^\circ$. Найдем длину гипотенузы $MN$ (длину наклонной):

$\sin(\angle MNH) = \frac{MH}{MN}$

$MN = \frac{MH}{\sin(\angle MNH)} = \frac{\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MKH$. Аналогично, найдем длину гипотенузы $MK$:

$MK = \frac{MH}{\sin(\angle MKH)} = \frac{\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle NMK$. По условию, угол между наклонными $MN$ и $MK$ равен $90^\circ$, то есть $\angle NMK = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle NMK$ является прямоугольным.

Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка $NK$, который является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle NMK$. По теореме Пифагора:

$NK^2 = MN^2 + MK^2$

$NK^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$NK = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.