Номер 21, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 21, страница 105.

Условие.

10.21. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AC$, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по $30^\circ$. Найдите данные наклонные и расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, если угол между проекциями наклонных равен $90^\circ$, а расстояние между основаниями наклонных равно $6$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра, а длина отрезка $AH$ является искомым расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Точки $B$ и $C$ — основания наклонных.

Угол между наклонной и её проекцией на плоскость по условию равен $30°$. Следовательно, $∠ABH = 30°$ и $∠ACH = 30°$.

Угол между проекциями наклонных равен $90°$, значит, $∠BHC = 90°$. Расстояние между основаниями наклонных $B$ и $C$ равно $6$ см, то есть $BC = 6$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Так как $AH \perp \alpha$, то $AH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в частности $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Значит, $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ — прямоугольные. В этих треугольниках катет $AH$ — общий, а острые углы $∠ABH$ и $∠ACH$ равны $30°$. Следовательно, $\triangle AHB = \triangle AHC$ по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: $AB = AC$ (длины наклонных равны) и $HB = HC$ (длины проекций равны).

Рассмотрим $\triangle BHC$, который лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем, что $∠BHC = 90°$ и $HB = HC$. Следовательно, $\triangle BHC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Применим к нему теорему Пифагора:
$HB^2 + HC^2 = BC^2$
$2 \cdot HB^2 = 6^2$
$2 \cdot HB^2 = 36$
$HB^2 = 18$
$HB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.
Таким образом, длины проекций $HB = HC = 3\sqrt{2}$ см.

Найти расстояние от точки А до плоскости α

Искомое расстояние — это длина перпендикуляра $AH$. Найдем её из прямоугольного треугольника $\triangle AHB$. Мы знаем катет $HB = 3\sqrt{2}$ см и прилежащий к нему острый угол $∠ABH = 30°$.
Воспользуемся определением тангенса: $\tan(∠ABH) = \frac{AH}{HB}$.
$AH = HB \cdot \tan(30°) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$AH = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$ см.
Ответ: $\sqrt{6}$ см.

Найти данные наклонные

Требуется найти длины наклонных $AB$ и $AC$. Мы уже выяснили, что $AB = AC$. Найдем длину гипотенузы $AB$ из прямоугольного треугольника $\triangle AHB$.
Воспользуемся определением косинуса: $\cos(∠ABH) = \frac{HB}{AB}$.
$AB = \frac{HB}{\cos(∠ABH)} = \frac{3\sqrt{2}}{\cos(30°)}$
Так как $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AB = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$AB = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.
Так как $AB = AC$, то обе наклонные имеют длину $2\sqrt{6}$ см.
Ответ: $2\sqrt{6}$ см.