Номер 16, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 16, страница 104.

Условие.

10.16. Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, большую проекцию имеет большая наклонная.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$, где $H$ — основание перпендикуляра. Проведём также из точки $A$ две наклонные $AB_1$ и $AB_2$ к плоскости $\alpha$, где $B_1$ и $B_2$ — основания наклонных. Отрезки $HB_1$ и $HB_2$ являются проекциями наклонных $AB_1$ и $AB_2$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Требуется доказать, что если одна наклонная больше другой, то и её проекция больше проекции другой наклонной. Пусть, для определённости, наклонная $AB_1$ больше наклонной $AB_2$, то есть $AB_1 > AB_2$. Докажем, что $HB_1 > HB_2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB_1$ и $\triangle AHB_2$.

По определению перпендикуляра к плоскости, прямая $AH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $H$. Следовательно, $AH \perp HB_1$ и $AH \perp HB_2$.

Это означает, что треугольники $\triangle AHB_1$ и $\triangle AHB_2$ являются прямоугольными с общим катетом $AH$. Наклонные $AB_1$ и $AB_2$ являются их гипотенузами, а проекции $HB_1$ и $HB_2$ — другими катетами.

Применим теорему Пифагора для этих двух треугольников:

Для $\triangle AHB_1$: $AB_1^2 = AH^2 + HB_1^2$

Для $\triangle AHB_2$: $AB_2^2 = AH^2 + HB_2^2$

Выразим из этих равенств квадраты проекций:

$HB_1^2 = AB_1^2 - AH^2$

$HB_2^2 = AB_2^2 - AH^2$

По условию, $AB_1 > AB_2$. Так как длины отрезков являются положительными величинами, то и их квадраты будут находиться в том же соотношении: $AB_1^2 > AB_2^2$.

Сравним выражения для квадратов проекций. Так как $AB_1^2 > AB_2^2$, то, вычитая из обеих частей неравенства одно и то же число $AH^2$, получим:

$AB_1^2 - AH^2 > AB_2^2 - AH^2$

Следовательно, $HB_1^2 > HB_2^2$.

Поскольку длины проекций $HB_1$ и $HB_2$ также являются положительными величинами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин: $HB_1 > HB_2$.

Таким образом, мы доказали, что большей наклонной соответствует большая проекция.

Ответ: Что и требовалось доказать.