Номер 15, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 15, страница 104.

Условие.

10.15. Из точки $M$ провели к плоскости $\alpha$ равные наклонные $MA, MB, MC$ и $MD$. Могут ли точки $A, B, C$ и $D$ быть вершинами:

1) прямоугольника;

2) ромба;

3) прямоугольной трапеции;

4) равнобокой трапеции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $MO$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$. Наклонные $MA, MB, MC$ и $MD$ являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках $\triangle MOA, \triangle MOB, \triangle MOC$ и $\triangle MOD$ соответственно, где катет $MO$ — общий для всех четырех треугольников.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$OA^2 = MA^2 - MO^2$

$OB^2 = MB^2 - MO^2$

$OC^2 = MC^2 - MO^2$

$OD^2 = MD^2 - MO^2$

По условию задачи, длины наклонных равны: $MA = MB = MC = MD$. Из этого следует, что их проекции на плоскость $\alpha$ также равны:

$OA = OB = OC = OD$

Это означает, что точки $A, B, C$ и $D$ в плоскости $\alpha$ равноудалены от точки $O$. Следовательно, эти точки лежат на одной окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Четырехугольник, вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным в окружность. Таким образом, задача сводится к определению, какие из перечисленных четырехугольников могут быть вписаны в окружность.

1) прямоугольника;

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. У прямоугольника все углы равны $90^\circ$. Сумма противоположных углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Таким образом, точки $A, B, C$ и $D$ могут быть вершинами прямоугольника.

Ответ: да, могут.

2) ромба;

Ромб является параллелограммом, у которого противоположные углы равны. Пусть углы ромба равны $\alpha$ и $\beta$. Для того чтобы ромб можно было вписать в окружность, сумма его противоположных углов должна быть равна $180^\circ$. То есть, должно выполняться равенство $\alpha + \alpha = 180^\circ$, откуда $\alpha = 90^\circ$. Если у ромба хотя бы один угол прямой, то и все остальные углы прямые, и такой ромб является квадратом. Квадрат — это частный случай ромба, и его можно вписать в окружность. Таким образом, точки $A, B, C$ и $D$ могут быть вершинами ромба, если этот ромб является квадратом.

Ответ: да, могут (если этот ромб — квадрат).

3) прямоугольной трапеции;

Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла, прилегающих к одной из боковых сторон. Пусть в трапеции $ABCD$ углы $\angle A$ и $\angle B$ равны $90^\circ$. Чтобы эту трапецию можно было вписать в окружность, сумма ее противоположных углов должна быть равна $180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$, то есть $90^\circ + \angle C = 180^\circ$, что дает $\angle C = 90^\circ$. Аналогично, $\angle B + \angle D = 180^\circ$, что дает $\angle D = 90^\circ$. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Однако, по стандартному определению, трапеция — это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна, в то время как у прямоугольника две пары параллельных сторон. Таким образом, прямоугольник не является трапецией. Следовательно, прямоугольная трапеция (не являющаяся прямоугольником) не может быть вписана в окружность.

Ответ: нет, не могут.

4) равнобокой трапеции?

Известно, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она является равнобокой (равнобедренной). Это является свойством равнобокой трапеции. Поскольку точки $A, B, C$ и $D$ должны лежать на окружности, они могут образовывать равнобокую трапецию.

Ответ: да, могут.