Номер 19, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 19, страница 105.

Условие.

10.19. Из точки $D$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $DA$ и $DB$, сумма которых равна 28 см. Найдите эти наклонные, если их проекции на плоскость $\alpha$ равны соответственно 9 см и 5 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $DA$ и $DB$ — наклонные, проведенные из точки $D$ к плоскости $\alpha$. Пусть $DH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезки $HA$ и $HB$ являются проекциями наклонных $DA$ и $DB$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

По условию задачи дано:
Сумма длин наклонных: $DA + DB = 28$ см.
Длины их проекций: $HA = 9$ см и $HB = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DHA$ и $\triangle DHB$ (углы $\angle DHA$ и $\angle DHB$ — прямые, так как $DH \perp \alpha$). Катет $DH$ является общим для обоих треугольников.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:
$DA^2 = DH^2 + HA^2$
$DB^2 = DH^2 + HB^2$

Выразим квадрат общего катета $DH^2$ из обоих уравнений:
$DH^2 = DA^2 - HA^2$
$DH^2 = DB^2 - HB^2$

Приравняем правые части этих выражений, так как левые части равны:
$DA^2 - HA^2 = DB^2 - HB^2$

Подставим известные значения длин проекций $HA = 9$ см и $HB = 5$ см:
$DA^2 - 9^2 = DB^2 - 5^2$
$DA^2 - 81 = DB^2 - 25$

Перенесем члены с неизвестными длинами наклонных в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$DA^2 - DB^2 = 81 - 25$
$DA^2 - DB^2 = 56$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(DA - DB)(DA + DB) = 56$

Из условия задачи мы знаем, что $DA + DB = 28$ см. Подставим это значение в уравнение:
$(DA - DB) \cdot 28 = 56$

Найдем разность длин наклонных:
$DA - DB = \frac{56}{28}$
$DA - DB = 2$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:
1) $DA + DB = 28$
2) $DA - DB = 2$

Сложим эти два уравнения:
$(DA + DB) + (DA - DB) = 28 + 2$
$2 \cdot DA = 30$
$DA = \frac{30}{2} = 15$ см.

Подставим найденное значение $DA$ в первое уравнение системы, чтобы найти $DB$:
$15 + DB = 28$
$DB = 28 - 15 = 13$ см.

Таким образом, длины наклонных равны 15 см и 13 см.

Ответ: 13 см и 15 см.