Номер 24, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 24, страница 105.

Условие.

10.24. Точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ и удалена от плоскости $ABC$ на расстояние $d$. Найдите расстояние от точки $M$ до вершин данного треугольника, если $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть точка $O$ является проекцией точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $M$ до этой плоскости, то есть $MO = d$.

Поскольку точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, то наклонные $MA$, $MB$ и $MC$ равны между собой ($MA = MB = MC$).

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$ (они прямоугольные, так как $MO \perp (ABC)$). У этих треугольников катет $MO$ — общий, а гипотенузы равны по условию ($MA=MB=MC$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе.

Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ и, следовательно, является центром окружности, описанной около этого треугольника. Расстояние $OA$ (а также $OB$ и $OC$) равно радиусу $R$ этой окружности.

Искомое расстояние от точки $M$ до вершин треугольника, например $MA$, можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle MOA$:

$MA^2 = MO^2 + OA^2 = d^2 + R^2$

Следовательно, $MA = \sqrt{d^2 + R^2}$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R$

Подставив известные значения $BC = a$ и $\angle BAC = \alpha$, получим:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Откуда находим радиус $R$:

$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Теперь подставим это выражение для $R$ в формулу для $MA$:

$MA = \sqrt{d^2 + \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^2} = \sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2 \alpha}}$

Ответ: $\sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2 \alpha}}$.