Номер 29, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 29, страница 106.

Условие.

10.29. Вершины $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD$ принадлежат плоскости $\alpha$, а вершины $C$ и $D$ не принадлежат этой плоскости. Найдите расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\alpha$, если $AB = 5$ см, $BC = 12$ см, а проекция диагонали прямоугольника на плоскость $\alpha$ равна $2\sqrt{22}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку вершины $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$. В прямоугольнике противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $CD$ параллельна прямой $AB$ ($CD \parallel AB$). Так как прямая $CD$ параллельна прямой $AB$, лежащей в плоскости $\alpha$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки этой прямой на плоскость. Найдем расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$. Обозначим это расстояние как $h$.

Пусть $C'$ — это проекция точки $C$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $CC'$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, и его длина равна искомому расстоянию, то есть $CC' = h$.

Рассмотрим диагональ $AC$ прямоугольника. Поскольку точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекцией на эту плоскость является сама точка $A$. Проекцией точки $C$ на плоскость $\alpha$ является точка $C'$. Следовательно, отрезок $AC'$ является проекцией диагонали $AC$ на плоскость $\alpha$. По условию задачи, длина этой проекции равна $AC' = 2\sqrt{22}$ см.

Отрезок $AC$ (диагональ), его проекция $AC'$ и перпендикуляр $CC'$ образуют прямоугольный треугольник $ACC'$, в котором $\angle AC'C = 90^\circ$. По теореме Пифагора, $AC^2 = (AC')^2 + (CC')^2$.

Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольника $ABCD$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$AC = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу для треугольника $ACC'$:

$13^2 = (2\sqrt{22})^2 + h^2$

$169 = 4 \cdot 22 + h^2$

$169 = 88 + h^2$

$h^2 = 169 - 88$

$h^2 = 81$

$h = \sqrt{81} = 9$ см.

Таким образом, расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см.

Ответ: 9 см.