Номер 33, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 33, страница 106.

Условие.

10.33. Прямая $a$ проходит через вершину $B$ в параллелограмме $ABCD$ и перпендикулярна его плоскости. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $CD$, если $AB = 6$ см, а площадь параллелограмма $ABCD$ равна $72$ см$^{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть плоскость параллелограмма $ABCD$ обозначается как $\alpha$. По условию задачи, прямая $a$ проходит через точку $B$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Прямая $CD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$, не принадлежащей прямой $CD$, то прямые $a$ и $CD$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Построим общий перпендикуляр. Проведем в плоскости параллелограмма $\alpha$ высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $CD$. По определению высоты, $BH \perp CD$.

Поскольку прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она по определению перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая $BH$ лежит в плоскости $\alpha$, то $a \perp BH$.

Таким образом, отрезок $BH$ перпендикулярен как прямой $a$ (так как $BH \subset \alpha$ и $a \perp \alpha$), так и прямой $CD$ (по построению). Следовательно, $BH$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $CD$, и его длина и есть искомое расстояние между ними.

Теперь найдем длину высоты $BH$. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. $S_{ABCD} = CD \cdot BH$

В параллелограмме противолежащие стороны равны, значит $CD = AB = 6$ см.

Подставим известные значения в формулу площади: $72 = 6 \cdot BH$

Выразим из этого уравнения $BH$: $BH = \frac{72}{6} = 12$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $a$ и $CD$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.