Номер 32, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 32, страница 106.

Условие.

10.32. Прямая $m$ проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$ и перпендикулярна его плоскости. Расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно 8 см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC = 10$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, прямая $m$ проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$ и перпендикулярна его плоскости. Прямая $BC$ лежит в плоскости треугольника. Прямые $m$ и $BC$ являются скрещивающимися, так как прямая $m$ пересекает плоскость треугольника в точке $A$, которая не лежит на прямой $BC$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной их общего перпендикуляра. Найдём этот общий перпендикуляр для прямых $m$ и $BC$.

Проведём в плоскости треугольника $ABC$ высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению высоты, отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $BC$, то есть $AH \perp BC$.

Так как прямая $m$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Высота $AH$ лежит в плоскости $ABC$ и проходит через точку $A$ (точка пересечения прямой $m$ с плоскостью). Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна высоте $AH$, то есть $m \perp AH$.

Таким образом, отрезок $AH$ является общим перпендикуляром к прямым $m$ и $BC$, поскольку он перпендикулярен обеим этим прямым. Длина этого отрезка и есть расстояние между прямыми $m$ и $BC$.

Из условия известно, что расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно 8 см. Следовательно, длина высоты $AH$ треугольника $ABC$ равна 8 см.

Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле, используя основание и высоту, проведённую к этому основанию:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$

Подставим известные значения: длина стороны $BC = 10$ см, и длина высоты $AH = 8$ см.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 5 \cdot 8 = 40$ см².

Ответ: 40 см².