Номер 28, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 28, страница 106.

Условие.

10.28. Сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $BC$ удалена от плоскости $\alpha$ на 3 см. Найдите проекции на плоскость $\alpha$ отрезков $CD$, $AC$ и $BD$, если $AC = 8$ см, $BD = 6$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что точки $A$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$, и их проекции на эту плоскость совпадают с самими точками. Обозначим проекции точек $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$ как $B'$ и $C'$ соответственно.

Так как $ABCD$ — ромб, то его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Поскольку $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Расстояние от любой точки прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ одинаково и равно 3 см. Следовательно, длины перпендикуляров, опущенных из точек $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$, равны 3 см: $BB' = 3$ см и $CC' = 3$ см.

Для дальнейших расчетов найдем сторону ромба. Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, делятся в ней пополам и взаимно перпендикулярны. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$:

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см

$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см

По теореме Пифагора найдем сторону ромба $AB$ (которая равна $CD$):

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Следовательно, сторона ромба $CD = 5$ см.

Проекция отрезка CD

Проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $C'D$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CC'D$, где $\angle CC'D = 90^\circ$. Катет $CC'$ — это расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, то есть $CC' = 3$ см. Гипотенуза $CD$ — это сторона ромба, $CD = 5$ см. Катет $C'D$ является искомой проекцией. По теореме Пифагора:

$CD^2 = CC'^2 + C'D^2$

$C'D = \sqrt{CD^2 - CC'^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Проекция отрезка AC

Проекцией диагонали $AC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AC'$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC'$, где $\angle AC'C = 90^\circ$. Катет $CC' = 3$ см, гипотенуза $AC = 8$ см. Катет $AC'$ является искомой проекцией. По теореме Пифагора:

$AC^2 = CC'^2 + AC'^2$

$AC' = \sqrt{AC^2 - CC'^2} = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55}$ см.

Ответ: $\sqrt{55}$ см.

Проекция отрезка BD

Проекцией диагонали $BD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $B'D$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BB'D$, где $\angle BB'D = 90^\circ$. Катет $BB' = 3$ см, гипотенуза $BD = 6$ см. Катет $B'D$ является искомой проекцией. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BB'^2 + B'D^2$

$B'D = \sqrt{BD^2 - BB'^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.