Номер 34, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 34, страница 106.

Условие.

10.34. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $MH$ и наклонные $MA$ и $MB$ так, что $\angle MAH = 30^\circ$, $\angle MBH = 45^\circ$, а угол между проекциями наклонных равен $90^\circ$. Найдите косинус угла между данными наклонными.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, $MH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $MA$ и $MB$ — наклонные. Следовательно, треугольники $\triangle MHA$ и $\triangle MHB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$. Проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\alpha$ являются отрезки $HA$ и $HB$. По условию, угол между проекциями равен $90^\circ$, то есть $\angle AHB = 90^\circ$, поэтому треугольник $\triangle AHB$ также прямоугольный.

Пусть длина перпендикуляра $MH = h$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle MHA$ (где $\angle MAH = 30^\circ$) находим длины наклонной $MA$ и ее проекции $HA$:
$MA = \frac{MH}{\sin(30^\circ)} = \frac{h}{1/2} = 2h$;
$HA = \frac{MH}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle MHB$ (где $\angle MBH = 45^\circ$) находим длины наклонной $MB$ и ее проекции $HB$:
$MB = \frac{MH}{\sin(45^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{2}/2} = h\sqrt{2}$;
$HB = \frac{MH}{\tan(45^\circ)} = \frac{h}{1} = h$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Для нахождения косинуса угла между наклонными ($\angle AMB$) нам необходимы длины всех трех его сторон. Две стороны мы уже нашли: $MA = 2h$ и $MB = h\sqrt{2}$. Третью сторону $AB$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle AHB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = HA^2 + HB^2 = (h\sqrt{3})^2 + h^2 = 3h^2 + h^2 = 4h^2$, откуда $AB = \sqrt{4h^2} = 2h$.

Зная все три стороны треугольника $\triangle AMB$, применим к нему теорему косинусов для нахождения $\cos(\angle AMB)$:
$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$.
Подставляя полученные значения, имеем:
$(2h)^2 = (2h)^2 + (h\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (2h) \cdot (h\sqrt{2}) \cdot \cos(\angle AMB)$.
$4h^2 = 4h^2 + 2h^2 - 4\sqrt{2}h^2 \cos(\angle AMB)$.
Упростим выражение:
$0 = 2h^2 - 4\sqrt{2}h^2 \cos(\angle AMB)$.
$4\sqrt{2}h^2 \cos(\angle AMB) = 2h^2$.
Поскольку $h$ — длина перпендикуляра, $h \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $4\sqrt{2}h^2$:
$\cos(\angle AMB) = \frac{2h^2}{4\sqrt{2}h^2} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\cos(\angle AMB) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.