Номер 35, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 35, страница 106.

Условие.

10.35. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AO$ и наклонные $AB$ и $AC$ так, что $\angle ABO = \angle ACO = 45^\circ$, а косинус угла между наклонными равен $\frac{1}{4}$. Найдите угол между проекциями данных наклонных.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр $AO$ и наклонные $AB$ и $AC$. Проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ являются отрезки $OB$ и $OC$ соответственно.

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость — это угол между этой наклонной и плоскостью. Следовательно, $\angle ABO = 45^\circ$ и $\angle ACO = 45^\circ$.

Поскольку $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. Таким образом, $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Один из его острых углов, $\angle ABO$, равен $45^\circ$. Следовательно, второй острый угол, $\angle BAO$, также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что $\triangle AOB$ — равнобедренный, и $AO = OB$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$ угол $\angle ACO = 45^\circ$, значит, $\triangle AOC$ также равнобедренный, и $AO = OC$.

Из полученных равенств следует, что $OB = OC = AO$. Обозначим длину этих отрезков за $h$: $AO = OB = OC = h$.

Найдем длины наклонных $AB$ и $AC$ из соответствующих прямоугольных треугольников по теореме Пифагора:

$AB^2 = AO^2 + OB^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$, откуда $AB = h\sqrt{2}$.

$AC^2 = AO^2 + OC^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$, откуда $AC = h\sqrt{2}$.

Таким образом, $AB = AC = h\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Угол между наклонными — это угол $\angle BAC$. По условию, косинус этого угла равен $\frac{1}{4}$, то есть $\cos(\angle BAC) = \frac{1}{4}$. Применим к треугольнику $\triangle ABC$ теорему косинусов, чтобы найти квадрат длины стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

$BC^2 = (h\sqrt{2})^2 + (h\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (h\sqrt{2}) \cdot (h\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{4}$

$BC^2 = 2h^2 + 2h^2 - 2 \cdot 2h^2 \cdot \frac{1}{4}$

$BC^2 = 4h^2 - h^2 = 3h^2$

Искомый угол — это угол между проекциями наклонных, то есть угол $\angle BOC$. Обозначим его как $\phi$. Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$, который лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем, что $OB = h$ и $OC = h$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:

$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)$

$BC^2 = h^2 + h^2 - 2 \cdot h \cdot h \cdot \cos(\phi)$

$BC^2 = 2h^2 - 2h^2 \cos(\phi) = 2h^2(1 - \cos(\phi))$

Приравняем два полученных выражения для $BC^2$:

$3h^2 = 2h^2(1 - \cos(\phi))$

Разделим обе части уравнения на $2h^2$ (поскольку $h \neq 0$):

$\frac{3}{2} = 1 - \cos(\phi)$

Отсюда находим $\cos(\phi)$:

$\cos(\phi) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Угол $\phi$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.