Номер 1, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 108.

Условие.

Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

Решение 1.

Решение 3.

Теорема о трёх перпендикулярах устанавливает связь между перпендикулярностью прямой к плоскости, перпендикулярностью наклонной и её проекции. Она имеет две формулировки: прямую и обратную.

Прямая теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Рассмотрим это подробнее:

• Пусть есть плоскость $\alpha$.
• Из точки $A$, не лежащей в плоскости, опущен перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$ ($AH$ — первый перпендикуляр).
• $AM$ — это наклонная, проведенная из точки $A$ к плоскости $\alpha$.
• $HM$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$.
• В плоскости $\alpha$ проведена прямая $a$, проходящая через основание наклонной, точку $M$.

Согласно теореме, если проекция $HM$ перпендикулярна прямой $a$ ($HM \perp a$), то и сама наклонная $AM$ перпендикулярна этой прямой $a$ ($AM \perp a$).

Ответ: Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к самой наклонной, перпендикулярна и её проекции.

Используя те же обозначения, что и выше:

Если наклонная $AM$ перпендикулярна прямой $a$, лежащей в плоскости ($AM \perp a$), то и её проекция $HM$ перпендикулярна этой прямой $a$ ($HM \perp a$).

Ответ: Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.