Номер 5, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 5, страница 109.

Условие.

11.5. Отрезок $BD$ – перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ (рис. 11.7). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на прямую $AC$.

Рис. 11.7

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AC$, необходимо выполнить следующие действия:

1. В плоскости треугольника $ABC$ из вершины $B$ провести высоту к основанию $AC$. Обозначим точку пересечения высоты с прямой $AC$ как $H$. Таким образом, мы строим отрезок $BH$ так, что $BH \perp AC$.
2. Соединить отрезком точку $D$ и точку $H$.

Отрезок $DH$ и есть искомый перпендикуляр. Докажем это.

Доказательство:

По условию задачи отрезок $BD$ является перпендикуляром к плоскости треугольника $ABC$. Это записывается как $BD \perp (ABC)$.
Отрезок $BH$ лежит в плоскости $(ABC)$ и по построению является высотой, проведенной к стороне $AC$, следовательно, $BH \perp AC$.

Рассмотрим отрезки, связанные с точкой $D$ и плоскостью $(ABC)$:

• $DH$ — наклонная, проведенная из точки $D$ к плоскости $(ABC)$.
• $DB$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$.
• $BH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$.

Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашем случае:

• Прямая, лежащая в плоскости — это $AC$.
• Проекция наклонной — это $BH$.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна проекции $BH$ ($AC \perp BH$), то согласно теореме о трёх перпендикулярах, прямая $AC$ перпендикулярна и самой наклонной $DH$.

Таким образом, $DH \perp AC$, что и требовалось доказать и построить.

Ответ: Чтобы построить перпендикуляр из точки $D$ на прямую $AC$, нужно в плоскости треугольника $ABC$ провести высоту $BH$ к основанию $AC$, а затем соединить точки $D$ и $H$. Отрезок $DH$ и будет искомым перпендикуляром.