Номер 11, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11, страница 110.

Условие.

11.11. Отрезок $AB$ – диаметр окружности с центром $O$, отрезок $BC$ – её хорда, $AB = 12$ см, $\angle ABC = 30^\circ$. Отрезок $AE$ – перпендикуляр к плоскости данной окружности. Найдите расстояние от точки $E$ до плоскости окружности, если расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 10 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в плоскости окружности. Поскольку отрезок $AB$ является диаметром, а точка $C$ лежит на окружности, то угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB = 12$ см, а угол $\angle ABC = 30^{\circ}$. Катет $AC$, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы, но мы можем найти его и через синус:
$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 12 \cdot \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

3. По условию, отрезок $AE$ перпендикулярен плоскости окружности. Расстояние от точки $E$ до плоскости окружности — это длина этого перпендикуляра, то есть длина отрезка $AE$.

4. Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 10 см. Пусть $EK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на прямую $BC$. Тогда $EK \perp BC$ и $EK = 10$ см.

5. Рассмотрим связь между перпендикуляром к плоскости, наклонной и ее проекцией.
$AE$ — перпендикуляр к плоскости окружности ($ABC$).
$EK$ — наклонная, проведенная из точки $E$ к прямой $BC$.
$AK$ — проекция наклонной $EK$ на плоскость окружности.
Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($EK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AK$) перпендикулярна этой же прямой. Таким образом, $AK \perp BC$.

6. В плоскости окружности $AK$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к прямой $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с $\angle ACB = 90^{\circ}$) перпендикуляром, проведенным из вершины $A$ к прямой, содержащей катет $BC$, является катет $AC$. Это означает, что точка $K$ совпадает с точкой $C$, а длина проекции $AK$ равна длине $AC$.
$AK = AC = 6$ см.

7. Теперь рассмотрим треугольник $AEC$. Так как $AE$ перпендикулярен плоскости ($ABC$), то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$. Следовательно, $\angle EAC = 90^{\circ}$, и треугольник $AEC$ — прямоугольный.

8. В прямоугольном треугольнике $AEC$ мы знаем катет $AC = 6$ см и гипотенузу $EC$ (которая совпадает с $EK$) $EC = 10$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $AE$:
$AE^2 + AC^2 = EC^2$
$AE^2 + 6^2 = 10^2$
$AE^2 + 36 = 100$
$AE^2 = 100 - 36 = 64$
$AE = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки $E$ до плоскости окружности равно 8 см.
Ответ: 8 см.