Номер 15, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 15, страница 110.

Условие.

11.15. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей – 16 см. Точка $M$ находится на расстоянии 5,2 см от каждой прямой, содержащей сторону ромба. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости ромба.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан ромб со стороной $a = 10$ см и одной из диагоналей $d_1 = 16$ см. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся этой точкой пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Половина известной диагонали равна $\frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. По теореме Пифагора найдем половину второй диагонали: $\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см. Таким образом, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны ромба, ее проекция на плоскость ромба также равноудалена от этих прямых. Единственная точка в плоскости ромба, обладающая таким свойством, — это центр вписанной в него окружности, который совпадает с точкой пересечения диагоналей $O$. Следовательно, искомое расстояние от точки $M$ до плоскости ромба — это длина перпендикуляра $MO$.

Расстояние от центра ромба $O$ до его стороны — это радиус вписанной окружности $r$. Найдем его. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ см$^2$. С другой стороны, площадь ромба равна $S = a \cdot h$, где $h$ — высота ромба. Отсюда $h = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9.6$ см. Радиус вписанной окружности равен половине высоты: $r = \frac{h}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$, где $MO$ — перпендикуляр к плоскости ромба, $OK$ — перпендикуляр из точки $O$ к одной из сторон ромба ($OK = r = 4.8$ см), а $MK$ — наклонная, представляющая собой расстояние от точки $M$ до этой же стороны. По условию, $MK = 5.2$ см. По теореме Пифагора, $MO^2 + OK^2 = MK^2$.

Отсюда найдем $MO$: $MO^2 = MK^2 - OK^2 = 5.2^2 - 4.8^2$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $MO^2 = (5.2 - 4.8)(5.2 + 4.8) = 0.4 \cdot 10 = 4$. $MO = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.