Номер 22, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 22, страница 111.

Условие.

11.22. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $CD_1 \perp AB_1C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что прямая $CD_1$ перпендикулярна плоскости $(AB_1C_1)$, необходимо доказать, что прямая $CD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем $AB_1$ и $B_1C_1$, которые пересекаются в точке $B_1$.

Сначала докажем перпендикулярность прямых $CD_1$ и $AB_1$. Прямые $AB_1$ и $DC_1$ являются диагоналями параллельных граней куба $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ соответственно. Вектор $\vec{DC_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{DC} + \vec{CC_1}$. Вектор $\vec{AB_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB} + \vec{BB_1}$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то векторы рёбер $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{CC_1} = \vec{BB_1}$. Следовательно, $\vec{DC_1} = \vec{AB_1}$, что означает, что прямые $DC_1$ и $AB_1$ параллельны ($DC_1 \parallel AB_1$). Прямые $CD_1$ и $DC_1$ являются диагоналями грани-квадрата $CDD_1C_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому $CD_1 \perp DC_1$. Поскольку $AB_1 \parallel DC_1$, то из этого следует, что $CD_1 \perp AB_1$.

Теперь докажем перпендикулярность прямых $CD_1$ и $B_1C_1$. Ребро $B_1C_1$ перпендикулярно плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Это следует из того, что ребро $B_1C_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $B_1C_1 \perp C_1D_1$, так как грань $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат, и $B_1C_1 \perp CC_1$, так как грань $BCC_1B_1$ — квадрат. Поскольку прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости $(CDD_1C_1)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CD_1$. Таким образом, $CD_1 \perp B_1C_1$.

Итак, мы доказали, что прямая $CD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB_1$ и $B_1C_1$, лежащим в плоскости $(AB_1C_1)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $CD_1$ перпендикулярна плоскости $(AB_1C_1)$.

Ответ: Доказано, что $CD_1 \perp (AB_1C_1)$.