Номер 19, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 19, страница 111.

Условие.

11.19. Точка $O$ – центр окружности, вписанной в трапецию $ABCD$, $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $CD = 12$ см, $\angle ADC = 45^\circ$. Отрезок $MO$ – перпендикуляр к плоскости трапеции. Точка $M$ удалена от плоскости трапеции на $6\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи сначала найдем радиус окружности, вписанной в трапецию. Затем, используя этот радиус и расстояние от точки M до плоскости трапеции, определим расстояние от M до сторон трапеции.

1. Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Поскольку $BC \parallel AD$ и $AB \perp AD$, трапеция ABCD является прямоугольной, а ее высота $h = AB = CH$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD (∠CHD = 90°). По условию, гипотенуза $CD = 12$ см и угол $\angle ADC = 45^\circ$. Найдем катет CH, который является высотой трапеции:

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle ADC) = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

3. В трапецию вписана окружность, следовательно, ее высота равна диаметру вписанной окружности ($h = 2r$). Найдем радиус r:

$r = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Центр вписанной окружности O равноудален от всех сторон трапеции, и это расстояние равно радиусу r.

4. По условию, отрезок MO перпендикулярен плоскости трапеции, значит, расстояние от M до плоскости равно длине MO, то есть $MO = 6\sqrt{2}$ см. Расстояние от точки M до любой из сторон трапеции (обозначим его d) является длиной наклонной, проведенной из M к этой стороне. Проекцией этой наклонной на плоскость трапеции является радиус r, проведенный из точки O к точке касания. По теореме о трех перпендикулярах, так как радиус перпендикулярен стороне (в точке касания), то и наклонная будет перпендикулярна этой стороне.

Таким образом, искомое расстояние d можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются MO и r:

$d = \sqrt{MO^2 + r^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 18} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ см.

Поскольку расстояние от центра O до всех сторон одинаково и равно r, то и расстояние от точки M до всех сторон трапеции также будет одинаковым.

Расстояние от точки M до стороны AB

Расстояние от точки M до стороны AB равно $3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.

Расстояние от точки M до стороны BC

Расстояние от точки M до стороны BC равно $3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.

Расстояние от точки M до стороны CD

Расстояние от точки M до стороны CD равно $3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.

Расстояние от точки M до стороны AD

Расстояние от точки M до стороны AD равно $3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.