Номер 25, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 25, страница 111.

Условие.

11.25. Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ удалена от плоскости $\alpha$ на $3\sqrt{7}$ см. Найдите проекцию диагонали $BD$ на плоскость $\alpha$, если $BD = 24$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$. По свойству ромба, диагонали в точке пересечения делятся пополам, следовательно, $BO = OD = \frac{BD}{2}$.

Поскольку по условию $BD = 24$ см, то $BO = OD = \frac{24}{2} = 12$ см.

Диагональ $AC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как точка $O$ принадлежит диагонали $AC$, то точка $O$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Пусть $B'$ — это проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$, а $D'$ — проекция точки $D$ на эту же плоскость. Тогда отрезок $B'D'$ является проекцией диагонали $BD$ на плоскость $\alpha$.

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. По условию задачи, расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ составляет $3\sqrt{7}$ см, значит, длина перпендикуляра $BB'$ равна $3\sqrt{7}$ см ($BB' \perp \alpha$).

Ромб $ABCD$ — центрально-симметричная фигура относительно точки пересечения его диагоналей $O$. Поскольку центр симметрии $O$ лежит в плоскости $\alpha$, а точки $B$ и $D$ симметричны относительно $O$, они находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Таким образом, расстояние от точки $D$ до плоскости $\alpha$ также равно $3\sqrt{7}$ см, то есть $DD' = 3\sqrt{7}$ см ($DD' \perp \alpha$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBB'$. Угол $\angle OB'B = 90^\circ$, так как $BB'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $OB'$ лежит в этой плоскости. В данном треугольнике гипотенузой является $OB$, а катетами — $BB'$ и $OB'$. Применим теорему Пифагора: $OB^2 = (OB')^2 + (BB')^2$.

Из этого соотношения найдем длину проекции отрезка $OB$ на плоскость $\alpha$: $(OB')^2 = OB^2 - (BB')^2 = 12^2 - (3\sqrt{7})^2 = 144 - 9 \cdot 7 = 144 - 63 = 81$. Отсюда $OB' = \sqrt{81} = 9$ см.

Аналогично для прямоугольного треугольника $\triangle ODD'$ (с прямым углом $\angle OD'D$), где гипотенуза $OD = 12$ см и катет $DD' = 3\sqrt{7}$ см, найдем длину проекции отрезка $OD$: $(OD')^2 = OD^2 - (DD')^2 = 12^2 - (3\sqrt{7})^2 = 144 - 63 = 81$. Отсюда $OD' = \sqrt{81} = 9$ см.

Точки $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой (диагонали $BD$), поэтому их проекции $B'$, $O$ (проекция точки $O$ есть сама точка $O$, так как $O \in \alpha$), и $D'$ также лежат на одной прямой. Длина проекции $B'D'$ равна сумме длин отрезков $OB'$ и $OD'$: $B'D' = OB' + OD' = 9 + 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.