Номер 27, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 27, страница 111.

Условие.

11.27. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $DC_1B$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $DC_1B$, необходимо доказать, что прямая $A_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем диагонали граней $DB$ и $DC_1$. Они обе лежат в плоскости $DC_1B$ и пересекаются в точке $D$.

1. Доказательство перпендикулярности $A_1C$ и $DB$

Рассмотрим основание куба $ABCD$. Так как это квадрат, его диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp DB$.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, так как куб является прямой призмой. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $DB$. Таким образом, $AA_1 \perp DB$.
Поскольку прямая $DB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1A_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $DB$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$.
Прямая $A_1C$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$, следовательно, $DB \perp A_1C$.

2. Доказательство перпендикулярности $A_1C$ и $DC_1$

Рассмотрим грань куба $CDD_1C_1$. Так как это квадрат, его диагонали взаимно перпендикулярны: $CD_1 \perp DC_1$.
Ребро $A_1D_1$ перпендикулярно плоскости грани $(CDD_1C_1)$, поскольку $A_1D_1 \perp D_1D$ и $A_1D_1 \perp D_1C_1$.
Следовательно, прямая $CD_1$ является проекцией наклонной $A_1C$ на плоскость $(CDD_1C_1)$ (так как $D_1$ — проекция точки $A_1$, а точка $C$ — проекция самой себя).
Применим теорему о трех перпендикулярах: если прямая на плоскости ($DC_1$) перпендикулярна проекции наклонной ($CD_1$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($A_1C$).
Так как $DC_1 \perp CD_1$, из теоремы следует, что $DC_1 \perp A_1C$.

3. Вывод

Мы доказали, что прямая $A_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DB$ и $DC_1$, которые лежат в плоскости $DC_1B$.
Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Следовательно, прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $DC_1B$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Требуемое утверждение доказано.