Номер 20, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 20, страница 111.

Условие.

11.20. Параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ не лежат в одной плоскости. Расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 25 см, а между прямыми $b$ и $c$ — 17 см. Расстояние между прямой $b$ и плоскостью, в которой лежат прямые $a$ и $c$, равно 15 см. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся методом проекций. Спроецируем три параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ на плоскость $\Pi$, перпендикулярную им. Проекциями прямых будут три точки, назовем их $A$, $B$ и $C$ соответственно. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве равно расстоянию между их точечными проекциями на этой плоскости. Таким образом, задача сводится к решению планиметрической задачи для треугольника $ABC$.

Согласно условию:Расстояние между прямыми $a$ и $b$ составляет 25 см, следовательно, длина стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ равна $AB = 25$ см.Расстояние между прямыми $b$ и $c$ составляет 17 см, следовательно, длина стороны $BC$ равна $BC = 17$ см.

Прямые $a$ и $c$ образуют плоскость $\alpha$. Расстояние от прямой $b$ до этой плоскости равно 15 см. В нашей проекции это расстояние равно длине высоты треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$. Обозначим эту высоту как $h_B$, тогда $h_B = 15$ см.

Искомое расстояние между прямыми $a$ и $c$ равно длине стороны $AC$.

Пусть $H$ — основание высоты, опущенной из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Тогда $BH = 15$ см. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

По теореме Пифагора для $\triangle ABH$:$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$.Отсюда $AH = \sqrt{400} = 20$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle CBH$:$CH^2 = BC^2 - BH^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$.Отсюда $CH = \sqrt{64} = 8$ см.

Длина стороны $AC$ зависит от взаимного расположения точек $A$, $C$ и $H$ на прямой. Условие, что прямые не лежат в одной плоскости, означает, что точки $A$, $B$, $C$ не коллинеарны, а образуют треугольник. Существует два возможных варианта конфигурации этого треугольника.

Вариант 1: Точка $H$ лежит на отрезке $AC$. Это соответствует случаю, когда углы при вершинах $A$ и $C$ треугольника $ABC$ острые. В этом случае длина $AC$ является суммой длин отрезков $AH$ и $CH$:$AC = AH + CH = 20 + 8 = 28$ см.

Вариант 2: Точка $H$ лежит вне отрезка $AC$. Это соответствует случаю, когда один из углов при основании $AC$ (либо при вершине $A$, либо при $C$) является тупым. В этом случае длина $AC$ является модулем разности длин отрезков $AH$ и $CH$:$AC = |AH - CH| = |20 - 8| = 12$ см.

Оба варианта являются допустимыми решениями, так как в условии задачи отсутствуют данные, позволяющие исключить один из них.

Ответ: 28 см или 12 см.