Номер 16, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 16, страница 110.

Условие.

11.16. Точка $M$ не принадлежит плоскости треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) и находится на расстоянии $2\sqrt{5}$ см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Точка касания окружности, вписанной в треугольник $ABC$, с гипотенузой $AB$ делит её на отрезки длиной 3 см и 10 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $MO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда точка $O$ является проекцией точки $M$ на эту плоскость, а длина отрезка $MO$ — это искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

По условию, точка $M$ находится на одинаковом расстоянии $2\sqrt{5}$ см от прямых, содержащих стороны треугольника. Пусть $MK$, $ML$ и $MN$ — перпендикуляры из точки $M$ на прямые $AC$, $BC$ и $AB$ соответственно. Тогда $MK = ML = MN = 2\sqrt{5}$ см.

Отрезки $OK$, $OL$ и $ON$ являются проекциями наклонных $MK$, $ML$ и $MN$ на плоскость $ABC$. Поскольку $MO \perp \text{плоскости } ABC$, то по теореме о трех перпендикулярах из $MK \perp AC$, $ML \perp BC$ и $MN \perp AB$ следует, что $OK \perp AC$, $OL \perp BC$ и $ON \perp AB$.

Таким образом, $OK$, $OL$ и $ON$ — это расстояния от точки $O$ до сторон треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MON$ (углы при вершине $O$ прямые). У них общий катет $MO$. По теореме Пифагора:
$OK^2 = MK^2 - MO^2$
$OL^2 = ML^2 - MO^2$
$ON^2 = MN^2 - MO^2$

Так как наклонные $MK$, $ML$, $MN$ равны, то равны и их проекции: $OK = OL = ON$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$. Поскольку по условию точка $O$ лежит внутри треугольника, она является центром вписанной в него окружности, а расстояние $OK = OL = ON = r$ есть радиус этой окружности.

Найдем радиус $r$ вписанной окружности. Данный треугольник $ABC$ — прямоугольный с $\angle ACB = 90^\circ$. Точка касания вписанной окружности с гипотенузой $AB$ делит ее на отрезки 3 см и 10 см. Длина гипотенузы $c = AB = 3 + 10 = 13$ см.

Пусть $a$ и $b$ — катеты треугольника. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, катеты можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и длины отрезков гипотенузы:
$a = 3 + r$
$b = 10 + r$

По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(3 + r)^2 + (10 + r)^2 = 13^2$
$9 + 6r + r^2 + 100 + 20r + r^2 = 169$
$2r^2 + 26r + 109 = 169$
$2r^2 + 26r - 60 = 0$
$r^2 + 13r - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.
$r = \frac{-13 \pm 17}{2}$
Так как радиус не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:
$r = \frac{-13 + 17}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь у нас есть все данные для нахождения искомого расстояния $MO$. Из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ ($OK=r=2$ см, $MK=2\sqrt{5}$ см) по теореме Пифагора:
$MO^2 + OK^2 = MK^2$
$MO^2 + 2^2 = (2\sqrt{5})^2$
$MO^2 + 4 = 4 \cdot 5$
$MO^2 + 4 = 20$
$MO^2 = 16$
$MO = 4$ см.

Ответ: 4 см.