Номер 17, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 17, страница 110.

Условие.

11.17. Точка M не принадлежит плоскости многоугольника, а её проекцией на плоскость многоугольника является центр окружности, вписанной в многоугольник. Докажите, что точка M равноудалена от сторон данного многоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ — плоскость, в которой лежит данный многоугольник. Пусть точка $O$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. По условию, $O$ является центром окружности, вписанной в многоугольник. Из определения проекции следует, что перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $\alpha$, есть отрезок $MO$, то есть $MO \perp \alpha$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой. Нам необходимо доказать, что расстояния от точки $M$ до всех прямых, содержащих стороны многоугольника, равны между собой.

Рассмотрим произвольную сторону многоугольника и прямую $l$, содержащую эту сторону. Пусть $K_i$ — точка касания вписанной окружности с этой стороной. Так как $O$ — центр вписанной окружности, то отрезок $OK_i$ является ее радиусом и перпендикулярен касательной $l$ в точке касания. Таким образом, $OK_i \perp l$. Длина отрезка $OK_i$ равна радиусу вписанной окружности $r$. Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, то расстояния от точки $O$ до всех сторон многоугольника одинаковы и равны $r$.

Рассмотрим отрезок $MK_i$. Этот отрезок является наклонной к плоскости $\alpha$. Отрезок $MO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $OK_i$ — проекция наклонной $MK_i$ на эту плоскость ($MO \perp \alpha$, $M, O, K_i$ образуют плоскость, и $OK_i$ лежит в $\alpha$).

По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Так как проекция $OK_i$ перпендикулярна прямой $l$ ($OK_i \perp l$), то и наклонная $MK_i$ перпендикулярна прямой $l$ ($MK_i \perp l$).

Это означает, что длина отрезка $MK_i$ и есть расстояние от точки $M$ до прямой $l$, содержащей $i$-ю сторону многоугольника.

Теперь найдем длину этого отрезка. Рассмотрим треугольник $\triangle MOK_i$. Так как $MO \perp \alpha$, а отрезок $OK_i$ лежит в плоскости $\alpha$, то $MO \perp OK_i$. Следовательно, треугольник $\triangle MOK_i$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MOK_i$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $MK_i$ равен сумме квадратов катетов $MO$ и $OK_i$:

$MK_i^2 = MO^2 + OK_i^2$

Обозначим расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ как $h$, то есть $MO = h$. Длина отрезка $OK_i$ равна радиусу вписанной окружности $r$. Тогда получаем:

$MK_i^2 = h^2 + r^2$

$MK_i = \sqrt{h^2 + r^2}$

Поскольку это рассуждение верно для любой стороны многоугольника, а величины $h$ (расстояние от точки $M$ до плоскости) и $r$ (радиус вписанной окружности) являются постоянными для данной задачи, то расстояние от точки $M$ до каждой из сторон многоугольника одинаково и равно $\sqrt{h^2 + r^2}$.

Таким образом, доказано, что точка $M$ равноудалена от всех сторон данного многоугольника.

Ответ: Утверждение доказано.