Номер 18, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 18, страница 110.

Условие.

11.18. Основания равнобокой трапеции равны 16 см и 36 см. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, к её плоскости проведён перпендикуляр $MO$. Точка $M$ находится на расстоянии 16 см от плоскости трапеции. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция, основания которой равны $a = 16$ см и $b = 36$ см. Так как в трапецию вписана окружность, сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $c$ — длина боковой стороны. Тогда:

$a + b = 2c$

$16 + 36 = 2c$

$52 = 2c$

$c = 26$ см.

Проведём высоту $h$ в трапеции. В равнобокой трапеции высота, боковая сторона и полуразность оснований образуют прямоугольный треугольник. Длина отрезка большего основания от вершины до основания высоты равна $\frac{b-a}{2}$.

$\frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

По теореме Пифагора найдём высоту $h$:

$h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$). Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен:

$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Центр вписанной окружности $O$ равноудалён от всех сторон трапеции. Расстояние от центра $O$ до любой из сторон равно радиусу $r = 12$ см. Обозначим это расстояние как $OK$, где $K$ — точка касания на какой-либо стороне. Тогда $OK = 12$ см, и $OK$ перпендикулярен этой стороне.

По условию, из точки $O$ к плоскости трапеции проведён перпендикуляр $MO$, длина которого $MO = 16$ см. Расстояние от точки $M$ до стороны трапеции — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту сторону. Пусть это будет перпендикуляр $MK$.

Рассмотрим треугольник $MOK$. Так как $MO$ — перпендикуляр к плоскости трапеции, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $OK$. Значит, $\triangle MOK$ — прямоугольный.

По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $OK$ наклонной $MK$ перпендикулярна стороне трапеции, то и сама наклонная $MK$ перпендикулярна этой стороне. Таким образом, $MK$ — искомое расстояние.

Найдём длину $MK$ по теореме Пифагора:

$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как центр вписанной окружности $O$ равноудалён от всех сторон трапеции, то и точка $M$ также будет равноудалена от всех её сторон.

Ответ: 20 см.