Номер 14, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14, страница 110.

Условие.

11.14. Точка M равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника ABC. Проекцией точки M на плоскость ABC является точка O, принадлежащая треугольнику. Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от этой точки до плоскости ABC равно $3\sqrt{2}$ см, $AB = 18$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $ABC$ — правильный треугольник со стороной $AB = 18$ см. Точка $M$ — точка в пространстве, а точка $O$ — её проекция на плоскость треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Длина этого отрезка является расстоянием от точки $M$ до плоскости $ABC$, то есть $MO = 3\sqrt{2}$ см.

Пусть $MK$ — расстояние от точки $M$ до прямой $AB$. По определению, $MK$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $AB$, то есть $MK \perp AB$.

Рассмотрим отрезки $MO$ (перпендикуляр к плоскости), $MK$ (наклонная к плоскости) и $OK$ (проекция наклонной на плоскость). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то и ее проекция $OK$ перпендикулярна этой прямой ($OK \perp AB$). Таким образом, длина отрезка $OK$ является расстоянием от точки $O$ до стороны $AB$.

По условию, точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$. Это означает, что расстояния от точки $M$ до сторон $AB$, $BC$ и $AC$ равны. Обозначим эти расстояния как $d$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные перпендикуляром $MO$ и наклонными (расстояниями от $M$ до сторон). Все эти треугольники имеют общий катет $MO$ и равные гипотенузы (равные $d$). Следовательно, вторые катеты этих треугольников также равны. Это означает, что точка $O$ равноудалена от сторон $AB$, $BC$ и $AC$.

Точка внутри треугольника, равноудаленная от его сторон, является центром вписанной окружности. Для правильного треугольника центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности, центром тяжести и ортоцентром. Расстояние от этой точки до любой из сторон равно радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, $OK = r$. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности со стороной $a$ вычисляется по формуле:$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$Подставим значение стороны $a = AB = 18$ см:$OK = r = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$, где $\angle MOK = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — $MO = 3\sqrt{2}$ см и $OK = 3\sqrt{3}$ см. Гипотенуза $MK$ — это искомое расстояние от точки $M$ до стороны $AB$. По теореме Пифагора:$MK^2 = MO^2 + OK^2$$MK^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 + 9 \cdot 3 = 18 + 27 = 45$$MK = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.