Номер 8, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 8, страница 109.

Условие.

11.8. Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $ABCD$, $MD \perp CD$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ – прямоугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, прямая MA перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD. Это означает, что отрезок $MA$ является перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на плоскость $(ABCD)$.

Рассмотрим отрезок $MD$. Он является наклонной к плоскости $(ABCD)$, проведенной из точки $M$. Отрезок $AD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABCD)$, так как $A$ — основание перпендикуляра $MA$, а $D$ — точка, в которой наклонная пересекает плоскость.

В задаче дано, что $MD \perp CD$. Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и проходит через основание наклонной $MD$ (точку $D$).

Воспользуемся обратной теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.

Применяя эту теорему к нашей задаче, получаем, что прямая $CD$ перпендикулярна проекции $AD$. Следовательно, $AD \perp CD$, что означает, что угол $\angle ADC = 90^\circ$.

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, и один из его углов ($\angle ADC$) является прямым, то по определению четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $ABCD$ — прямоугольник.