Номер 7, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 7, страница 109.

Условие.

11.7. Отрезок $BE$ – перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$ (рис. 11.9). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на прямую $AC$.

Рис. 11.7

Рис. 11.8

Рис. 11.9

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Согласно этой теореме, прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Построение

1. В плоскости ромба ABCD проведем его диагонали AC и BD.
2. Обозначим точку пересечения диагоналей буквой O.
3. Соединим отрезком точку E и точку O.

Полученный отрезок EO является искомым перпендикуляром, опущенным из точки E на прямую AC.

Обоснование

По условию, отрезок BE перпендикулярен плоскости ромба ABCD, то есть $BE \perp (ABCD)$.
В этом случае отрезок EO является наклонной, проведенной из точки E к плоскости (ABCD), а отрезок BO — её проекцией на эту плоскость.
Поскольку ABCD — ромб, его диагонали по свойству перпендикулярны друг другу: $AC \perp BD$.
Так как прямая AC перпендикулярна проекции BO наклонной EO, то по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна и самой наклонной EO.
Следовательно, $EO \perp AC$. Это означает, что отрезок EO и есть перпендикуляр, опущенный из точки E на прямую AC.

Ответ: Искомым перпендикуляром является отрезок EO, где O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD.