Номер 10, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10, страница 110.

Условие.

11.10. Отрезок $DA$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $AB = 10$ см, $AC = 17$ см, $BC = 21$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $BC$, если расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно $15$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DA$. Следовательно, $DA = 15$ см.

Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BC$. Обозначим этот перпендикуляр как $DH$, где точка $H$ лежит на прямой $BC$. Таким образом, $DH \perp BC$.

Рассмотрим отрезок $AH$. $DA$ — это перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DH$ — наклонная к этой плоскости, а $AH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость $ABC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($AH$) на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Значит, $AH \perp BC$. Следовательно, $AH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.

Чтобы найти длину высоты $AH$, сначала найдем площадь треугольника $ABC$, используя формулу Герона. Стороны треугольника: $a = BC = 21$ см, $b = AC = 17$ см, $c = AB = 10$ см.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{21+17+10}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{7056} = 84$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.

Подставим известные значения и найдем высоту $AH$:

$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot AH$

$AH = \frac{84 \cdot 2}{21} = \frac{168}{21} = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $DAH$. Так как отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AH$. Следовательно, треугольник $DAH$ — прямоугольный, с прямым углом $A$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $DH$, которая и является искомым расстоянием от точки $D$ до прямой $BC$:

$DH^2 = DA^2 + AH^2$

$DH^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$

$DH = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.