Номер 3, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 109.

Условие.

11.3. На рисунке 11.5 изображён равносторонний треугольник $ABC$, точка $D$ – середина стороны $BC$. Прямая $AM$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Докажите, что $MD \perp BC$.

Рис. 11.3

Рис. 11.4

Рис. 11.5

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равносторонним. Точка $D$ — середина стороны $BC$. Это означает, что отрезок $AD$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к любой из сторон, является также ее высотой и биссектрисой. Следовательно, медиана $AD$ также является высотой треугольника $ABC$, опущенной на сторону $BC$. По определению высоты, $AD$ перпендикулярна $BC$, что записывается как $AD \perp BC$.

Также по условию, прямая $AM$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то есть $AM \perp (ABC)$.

Рассмотрим отрезки, связанные с точкой $M$ и плоскостью $ABC$:
• $AM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $(ABC)$.
• $MD$ — наклонная, проведенная из точки $M$ к плоскости $(ABC)$.
• $AD$ — проекция наклонной $MD$ на плоскость $(ABC)$.

Применим теорему о трех перпендикулярах. Она гласит: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашем случае прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$. Мы уже доказали, что прямая $BC$ перпендикулярна проекции $AD$ ($BC \perp AD$). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая $BC$ перпендикулярна и самой наклонной $MD$.

Таким образом, $MD \perp BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.